Python 三次迭代后散度处n阶导数导程的递归计算

我正在应用导数的形式定义，当它是一阶导数时，它可以很好地工作

h = 1e-05 #Some number ultimately close to 0
def derivative(f,x):
    return (f(x+h) - f(x)) / h #The formal definition

但是当推广n阶的公式时，由于某种原因，它在3次迭代中会出现奇怪的发散

from functools import lru_cache #For handling recursion

@lru_cache(maxsize=200)
def NthDerivative(f,x,n):
    if n==1:
        return derivative(f,x)
    return ( NthDerivative(f,x+h,n-1) - NthDerivative(f,x,n-1) ) / h

for i in range(1,100):
   print(NthDerivative(lambda x : x**5,1,i))

在迭代超过3次之前，这一切都很好

5.000100001040231 #1st order
20.00059895479467 #2nd order
60.17408793468348 #3rd order
-44408.92098500626 #4th order (Here it happens)
11102230246.251564
-2220446049250312.5
3.5527136788004995e+20
-4.440892098500624e+25

我不明白这里出了什么问题，是因为一些小的浮点数错误吗？ 当然，这不仅仅发生在这个特定的函数上，我尝试的每一个函数都在3的同一点上发散

这里怎么了？

h=1e-05#一些数字最终接近0
def衍生物（f，x）：
return（f（x+h）-f（x））/h#形式定义

一个小词汇问题：这是而不是导数的正式定义。这是一个近似公式

用对称近似公式代替非对称近似公式 在大多数函数上，使用更对称的公式可以得到更好的结果：

h=1e-05#一些数字最终接近0
def衍生物（f，x）：
返回（f（x+h）-f（x-h））/（2*h）#一个更好的近似值

使用相同的逻辑，您可以修改第n个衍生代码：

def（f，x，n）：
如果n==1：
收益导数（f，x）
返回（n次导数（f，x+h，n-1）-n次导数（f，x-h，n-1））/（2*h）

或者反过来说：

def（f，x，n）：
如果n==0：
返回f（x）
其他：
收益率导数（λy：导数（f，y），x，n-1）

我无法重现您的分歧结果，因为我不知道您试图区分哪些函数

直接写出高阶导数的公式 而不是使用递归近似的导数的近似的导数的近似的。。。你可以直接写出高阶导数的近似公式

例如，编写

f'（x）=（f（x+h）-f（x-h））/（2*h）

和

f'（x）=（f'（x+h）-f'（x-h））/（2*h）

并开发

f'（y）

在

f'（x）

中的出现，您将得到：

f''(x) = (f(x+2*h) - 2 * f(x) + f(x-2*h)) / (4 * h**2)

以这种方式写出公式比调用递归函数更有效，因为它减少了对

f

的计算

对于

f''

，

f'''

等，可以获得类似的公式

---

最后，您可以尝试找到第n个导数的通用公式。

如果使用调试器，它首先与预期的偏离在哪里？x**5的第4个导数是什么？你可以通过分析计算出来，检查你的结果。对于更大的

h

，效果很好。由于减去几乎相等的数字，你将陷入灾难。这更像是一个数值分析问题，而不是一个编程问题。在第4次迭代中使用更高的

h

似乎可以给出更准确的结果。使用多项式函数测试它时，它在大约相同的迭代中发散。由于

h

和

2*h

几乎是相同的数字，因此不会造成太大差异。像

sin

这样的周期函数似乎也在相同的迭代中发散。@Countour积分在

h

和

2*h

之间有一个因子2。这是两个不同的数字。