Math 查找由隐式方程定义的三维线上的任意点

电话是：

Ax+By+Cz=D

Ex+Fy+Gz=H

我想要满足这些方程的任意点（x，y，z）

我试着选择一个坐标设置为零，然后求解另外两个。除以下情况外，此功能正常工作：

1） 当某些系数为零或接近零时，我不确定是否有可靠的方法来选择哪个坐标为零，而不会导致数值不稳定

2） 它涉及大量的if语句，这使得代码凌乱，很难测试所有条件的组合

---

编辑：我不在乎它找到哪一点。它不必允许找到所有平面。

有两个平面，交点是一条线。直线由点和向量定义

要得到向量，你可以做平面法向量的叉积

Ax + By + Cz = D has normal vector <A,B,C>
Ex + Fy + Gz = H has normal vector <E,F,G>

为此，可以假设

z

为零。然后检查

（A*F-E*B）！=0

。如果这是真的，则计算

x，y

：

x = (D*F-B*H)/(A*F-E*B)
y = (E*D-A*H)/(E*B-A*F)

否则，请检查

（A*G-E*C）！=0

。如果是的话，那么你知道

x = (D*G-C*H)/(A*G-E*C)
z = (E*D-A*H)/(E*C-A*G)

y = (D*G-C*H)/(B*G-C*F)
z = (B*H-D*F)/(B*G-C*F)

否则，请检查

（B*G-C*F）！=0

。如果是的话，那么你知道

x = (D*G-C*H)/(A*G-E*C)
z = (E*D-A*H)/(E*C-A*G)

y = (D*G-C*H)/(B*G-C*F)
z = (B*H-D*F)/(B*G-C*F)

那你就有台词了

x = a + (BG-CF)t
y = b + (CE-AG)t
z = c + (AF-BE)t

---

其中

t

是您的参数。对于所选的任何

t

，，（x，y，z）将是所需直线上的一个点。

有两个平面，交点是一条直线。直线由点和向量定义

要得到向量，你可以做平面法向量的叉积

Ax + By + Cz = D has normal vector <A,B,C>
Ex + Fy + Gz = H has normal vector <E,F,G>

为此，可以假设

z

为零。然后检查

（A*F-E*B）！=0

。如果这是真的，则计算

x，y

：

x = (D*F-B*H)/(A*F-E*B)
y = (E*D-A*H)/(E*B-A*F)

否则，请检查

（A*G-E*C）！=0

。如果是的话，那么你知道

x = (D*G-C*H)/(A*G-E*C)
z = (E*D-A*H)/(E*C-A*G)

y = (D*G-C*H)/(B*G-C*F)
z = (B*H-D*F)/(B*G-C*F)

否则，请检查

（B*G-C*F）！=0

。如果是的话，那么你知道

x = (D*G-C*H)/(A*G-E*C)
z = (E*D-A*H)/(E*C-A*G)

y = (D*G-C*H)/(B*G-C*F)
z = (B*H-D*F)/(B*G-C*F)

那你就有台词了

x = a + (BG-CF)t
y = b + (CE-AG)t
z = c + (AF-BE)t

---

其中

t

是您的参数。对于您选择的任何

t

，（x，y，z）将是您所需线路上的一个点。

我想补充jh314的解决方案：

您还可以通过解决更复杂的问题获得一个点，如：

Ax + By + Cz = D 
Ex + Fy + Gz = H 
(BG-CF)x+(-AG+CE)y+(AF-BE)z = 0

---

我认为这在数值上更稳定

我想补充jh314的解决方案：

您还可以通过解决更复杂的问题获得一个点，如：

Ax + By + Cz = D 
Ex + Fy + Gz = H 
(BG-CF)x+(-AG+CE)y+(AF-BE)z = 0

---

我认为这在数值上更稳定

你对向量代数满意吗？你对向量代数满意吗？你原来的两个方程。我要提到这一点。这又回到了我最初的解决方案。在保证数值稳定性的同时解决这些问题并不容易，因为未知量比方程多。假设z=0并不总是可行的。例如，当A=B=E=G=0时。你可以用很多条件语句来解决这个问题，但这是我已有的解决方案，我觉得它太难看了，很难对它的可靠性有信心。x可以是0，y可以是0，或者z可以是0。其中一个必须是真的，我不能用因为它们是浮点数。相反，我会找到（AF-EB）、（AG-EC）和（BG-CF）的最大值来决定哪个坐标为零。这个测试本身就很难实现。你可以看到这个代码变得非常复杂，这是我希望避免的。你原来的两个方程。我要提到这一点。这又回到了我最初的解决方案。在保证数值稳定性的同时解决这些问题并不容易，因为未知量比方程多。假设z=0并不总是可行的。例如，当A=B=E=G=0时。你可以用很多条件语句来解决这个问题，但这是我已有的解决方案，我觉得它太难看了，很难对它的可靠性有信心。x可以是0，y可以是0，或者z可以是0。其中一个必须是真的，我不能用因为它们是浮点数。相反，我会找到（AF-EB）、（AG-EC）和（BG-CF）的最大值来决定哪个坐标为零。这个测试本身就很难实现。你可以看到这个代码变得非常复杂，这是我希望避免的。看起来很漂亮！也许比jh314的答案慢，但更干净。看起来很漂亮！也许比jh314的答案慢，但要干净得多。