Math 给定a、b、c和alpha，找到x

我在做图像处理，以确定图片中两点之间的距离。它涉及大量的几何图形。我试图用基本几何学来解决一个问题，但没有找到解决方案，其中一个问题是以下问题。我已经将这个问题转化为数学术语，以便更广泛的听众能够回答它

给出了侧面a、b、c和角度α。长度x可以找到 利用正弦和余弦定律，我发现： 使用余弦定律和， 使用正弦定律

---

式中，β是与b侧相对的角度，这不是一个小问题，也许应该问一下

但我的看法是：

考虑到三角形

abx

b^2 = x^2 + a^2 - 2*a*x*cos(β)        #1

三角形

a1cx

c^2 = x^2 + a1^2 -2*a1*x*cos(β)       #2
sin(α)/α1 = sin(β)/c                  #3

求解

x

、

a1

和

β

的三个非线性方程组

从

#1

中减去

#2

，以消除

x^2

（经过一些简化）

使用

#3

在

#4

现在从

#1

中减去

（a/a1）*#2

，以消除

a1^2

b^2 - a*c^2/a1 = -(a-a1)*(x^2-a*a1)/a1            #6

方程

#5

和

#6

是求解

x

和

a1

的两个非线性方程

从

#5

中，我们有

x

，在

a1

中有

x = a1*(a^2-a1^2-b^2+c^2)/(2*(a-a1)*sqrt(a1^2-c^2*sin(α)^2))    #7

不幸的是，在

#6

中使用上述函数会导致求解

a1

的六阶多项式

在这一点上只能用数值方法求解如果找到了

a1

，那么

#7

也会给出

x

0 = 4*a^2*c^2*g^2
+ a1*(4*a*g^2*(a^2-b^2-c^2))
+ a1^2*(a^4-2a^2(b^2+c^2+4g^2)+b^4+2b^2(2g^2-c^2)+c^4)
+ a1^3*(-4a(a^2-b^2-c^2-g^2))
+ a1^4*(2(3a^2-b^2-c^2))
+ a1^5*(-4*a)
+ a1^6

---

其中

g=c*sin（α）

这不是一个小问题，也许应该问一下

但我的看法是：

考虑到三角形

abx

b^2 = x^2 + a^2 - 2*a*x*cos(β)        #1

三角形

a1cx

c^2 = x^2 + a1^2 -2*a1*x*cos(β)       #2
sin(α)/α1 = sin(β)/c                  #3

求解

x

、

a1

和

β

的三个非线性方程组

从

#1

中减去

#2

，以消除

x^2

（经过一些简化）

使用

#3

在

#4

现在从

#1

中减去

（a/a1）*#2

，以消除

a1^2

b^2 - a*c^2/a1 = -(a-a1)*(x^2-a*a1)/a1            #6

方程

#5

和

#6

是求解

x

和

a1

的两个非线性方程

从

#5

中，我们有

x

，在

a1

中有

x = a1*(a^2-a1^2-b^2+c^2)/(2*(a-a1)*sqrt(a1^2-c^2*sin(α)^2))    #7

不幸的是，在

#6

中使用上述函数会导致求解

a1

的六阶多项式

在这一点上只能用数值方法求解如果找到了

a1

，那么

#7

也会给出

x

0 = 4*a^2*c^2*g^2
+ a1*(4*a*g^2*(a^2-b^2-c^2))
+ a1^2*(a^4-2a^2(b^2+c^2+4g^2)+b^4+2b^2(2g^2-c^2)+c^4)
+ a1^3*(-4a(a^2-b^2-c^2-g^2))
+ a1^4*(2(3a^2-b^2-c^2))
+ a1^5*(-4*a)
+ a1^6

---

如果

g=c*sin（α）

Hi，您能否至少给出一组示例值以测试结果？这里没有一个简单的公式，答案需要一定程度的数值解编程。嗨，你能给出至少一组数值的例子来测试结果吗？这里没有一个简单的公式，答案将需要某种程度的编程数值解。但接下来会有6种不同的解，对吗？从几何角度看，我看到了一个独特的解决方案。将有许多无效的解决方案（复数或负数），而对于剩余的解决方案，将有多个可能的配置。就像主三角形外的

c

距离一样。在这一部分中，如果我有实数可以使用，我可以进一步开发基于有效解分支的算法。但是接下来会有6种不同的解，对吗？从几何角度看，我看到了一个独特的解决方案。将有许多无效的解决方案（复数或负数），而对于剩余的解决方案，将有多个可能的配置。就像主三角形外的

c

距离一样。在这里，如果我有实数可以使用，我可以进一步开发基于有效解分支的算法。