Math 如何求等腰三角形中的第三点坐标？

等腰三角形ABC
AB=AC=d_1
BC=d_2

角度BAC=Φ
角度ABC=角度ACB=Θ

我想要一个x_3和y_3的方程（我知道会有两个值）
x_3=？？

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y_3=？？

首先，需要找到三角形对称轴与其

BC

边的交点-让我们表示该点

D

及其坐标

（x，y）

。然后将有两个向量：

AD = (x - x1, y - y1)
BD = (x - x2, y - y2)

这些向量应该满足两个条件。条件#1是

AD

和

BD

正交性，可以表示为它们的点积等于零：

(x - x1) * (x - x2) + (y - y1) * (y - y2) = 0

对于条件#2，您可以使用角度φ或

BC

侧的长度-这取决于您，看起来您在输入数据方面有一定的灵活性。具有角度的条件表示半角φ的正切等于向量的长度除以向量的长度：

sqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2) / sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2) = tan(Phi / 2)

如果您事先知道

BC

长度，条件#2将更简单-它只是说向量

BD

的长度等于

d2

除以2：

sqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2) = d2 / 2

所以，你会得到一个由两个二次方程组成的系统，变量是

x

和

y

。在一般情况下，很难解决这样的系统，但这种情况稍微简单一点，因为这里没有叉积

x

和

y

计算点

D

后，可以使用向量方程找到三角形的第三个顶点（

C

）：

C = B + 2 * BD

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我可以解决这个问题。解决方案密钥是和之间的转换

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给出了哪些值，哪些值未知？对于一般三角形，可能会有帮助。@NicoSchertler-Givens:x_1，x_2，y_1，y_2，d_1，d_2，Φ，Θ。未知：x_3，y_3。你能在提到的链接中澄清这一部分吗？P3=P1+d2/d1*/cos-phi*（x2-x1）-sin-phi*（y2-y1））\sin-phi*（x2-x1）+cos-phi*（y2-y1））。“*/”是什么意思？整个右边部分是一个二维向量。在你的例子中，这更容易，因为φ是已知的，差分向量的长度是相等的（意思是

d2/d1=1

）。@NicoSchertler，我做了以下工作：x_3=x_1+（Cos（Φ）*（x_2-x_1）-Sin（Φ）*（y_2-y_1））。。y_3=y_1+（Cos（Φ）*（x_2-x_1）+Sin（Φ）*（y_2-y_1））。。但是结果是错误的，因为AB不等于AC@DouglasZare，我不能依赖斜率，因为它可能导致除以零。首先用简单的例子检查你的公式，例如-

x1=y1=0

，

x2=y2=1

和

Phi=90级

C = B + 2 * BD

x_3 = AB * Cos(Φ) + x_1
y_3 = AB * Sin(Φ) + y_1