Math 如何计算以下公式

鉴于

我们怎样才能推断出下面的解决方案

1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + 4*2^4 + ... d * 2^d

= sum(r * 2^r, r from 1 to d)

谢谢

作者：d:

基本情况

= 2 (d-1) * 2^d + 2

感应式案例

= 2 (d-1) * 2^d + 2

我们假设归纳假设对d是正确的，因此：

现在计算

d+1

sum(r * 2^r, r from 1 to d + 1) =
sum(r * 2^r, r from 1 to d) + [(d + 1) * 2^(d + 1)] =
2 * (d-1) * 2^d + 2 + [(d + 1) * 2^(d + 1)] =
(d - 1) * 2^(d + 1) + 2 + d * 2^(d + 1) + 2^(d + 1) =
d * 2^(d + 1) - 2^(d + 1) + 2 + d * 2^(d + 1) + 2^(d + 1) =
d * 2^(d + 1) + 2 + d * 2^(d + 1) =
2 * d * 2^(d + 1) + 2 (result 1)

因此

---

QED

我认为你可以通过归纳证明这一点：

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试着在这里提问：你是在要求证明解是正确的，还是要一种将级数转换为封闭形式的通用方法？@martineno，我是在要求证明解是正确的。--感谢您的详细介绍。然而，我最初的问题是问如何得到答案，而不是给出答案并证明答案是正确的thx@q0987没问题，但当我在最初的问题中问你是想找到一种方法来解决问题，还是想证明问题的解决方案是正确的时，你说“@martineno，我在要求证明问题的解决方案是正确的。”所以我很困惑

2 (d-1) * 2^d + 2 = (substituting d + 1 for d)
2 * (d + 1 - 1) * 2^(d + 1) + 2 =
2 * d * 2^(d + 1) + 2 (result 2)

2 * d * 2^(d + 1) + 2 (result 1) = 2 * d * 2^(d + 1) + 2 (result 2)