Math 向量相对于一组向量的唯一正交分量

我想获得向量的正交分量v关于一组向量{u_1，u_2，…u_N。我可以通过Gram Schmidt风格的方法做到这一点：

v_orth = v
for i=1:N
   v_orth = v_orth - proj(v_orth, u_i)

return v_orth/norm(v_orth)

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但是，该算法的输出取决于u\u i的顺序。是否有一种方法独立于u_i的顺序？例如，返回唯一的v_或且与v的偏差最小的向量时，

您的过程不一定会产生一个与我们所有人正交的向量

例如，如果只有两个us，而us不是正交的。在第一步之后，你将得到一个与u1正交的向量，但是第二步将（除非该向量已经与u2正交）从向量中减去u2的倍数，因为u1.u2！=0时，结果将不再与u1正交

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你需要首先找到一组向量w_1..w_M say（例如由修改的Gram Schmidt）它们是正交的，并且跨越与us相同的空间。如果您对ws而不是us使用您的过程，您将计算一个与所有ws正交的向量，从而与所有us正交。此外（舍入误差）这不取决于vs.的顺序。

向量u_i是否相互正交？不，它们不是。