Math 什么类型的数字可以用二进制浮点表示？

我读过很多关于浮动的书，但都是不必要的。我想我已经完全明白了，但有一件事我想确定：

我知道，形式为

1/pow（2，n）

的分数，加上

n

一个整数，可以用浮点数精确表示。这意味着，如果我将

1/32

添加到自身3200万次，我将得到确切的

1000000

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像

1/（32+16）

这样的东西怎么样？它是二的二次幂之和的一，这行吗？或者是

1/32+1/16

有效吗？这就是我感到困惑的地方，如果有人能为我澄清这一点，我将不胜感激。

规则可以总结为：

• 如果分母的素因式分解仅包含2，则一个数字可以用二进制精确表示。（即分母是二的幂）

所以

1/（32+16）

不能用二进制表示，因为它的分母中有一个因子3。但是

1/32+1/16=3/32

也就是说，在浮点类型中需要表示更多的限制。例如，IEEE

double

中只有53位尾数，因此

1/2+1/2^500

是不可表示的

所以，只要指数的范围不超过53次幂，你就可以做2次幂的和

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要将其推广到其他基础：

• 如果分母的素因式分解仅由2和5组成，则数字可以精确地以10为基数表示

• 如果

  X

  分母的素数分解只包含

  N

  分解中的素数，则有理数

  X

  可以在基

  N

  中精确表示

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浮点数的字面表示形式如下：

1.m * 2^e

其中，

1.m

是二进制分数，

e

是正整数或负整数

因此，您可以准确地表示

1/32+1/16

，如下所示：

1.1000000 * 2^-4

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（

1.10

是相当于1.5的二进制分数。）

1/48

不可在此格式中表示。

尚未提及的一点是，从语义上讲，浮点数最好被视为表示一系列值。值的范围有一个非常精确定义的中心点，IEEE规范通常要求浮点计算的结果是一个数字，其范围包含一个将在原始数字的中心点上运行的点，但顺序如下：

double N1 = 0.1; float N2 = (float)N1; double N3 = N2; 双N1=0.1； 浮点数N2=（浮点数）N1； 双N3=N2； N2是N1中表示的值的明确正确的单精度表示，尽管该语言愚蠢地要求使用显式转换。N3将表示N2可以表示的一个值（语言规范恰好选择了

double

值，其范围集中在

float

范围的中间）。请注意，虽然N2表示其范围包含正确值的类型的值，但N3不表示

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顺便说一句，在.net和.net语言中，数字从字符串到浮点的转换似乎要经过到

double

的中间转换，这有时可能会改变值。例如，即使值13571357可以表示为单精度浮点，值13571357.499999909069F也会四舍五入到13571358（尽管它显然更接近13571357）当且仅当某些整数M和e等于M•2e且-253 对于单精度，-224 对于双精度，这是双精度格式使用52位存储有效位（由于隐式1，通常有53位）和使用11位存储指数的结果。11位对0到2047之间的数字进行编码，但出于特殊目的，0和2047被排除在外，并且编码的数字偏移了1023，因此它表示-1022到1023之间的无偏指数。然而，这些无偏指数用于区间[1,2]中的有效位，这些有效位具有分数。为了将有效位表示为整数，我将指数范围调整了52。单精度类似，23位用于存储24位有效位，8位用于指数，偏差为127

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使用整数乘以二的幂来表示可表示的数字，而不是更常见的分数有效位，可以简化一些数论和其他关于浮点属性的推理。我在这个答案中使用了它，因为它可以简洁地表示可表示的值集。

所以如果我正确的话，我可以使用任何数字

X/Y

，只要

Y

是2的幂，并且

X

是小于

2^53

？@神秘：+1作为答案，但我有一个疑问。24/48=0.5，但是根据上述规则，它不应该是可表示的，因为3是48的主要因素之一，而不是10的主要因素之一。为什么？@legends2k24/48是可约化的。在尝试应用上述规则之前，你应该减少分数。@NiettheDarkAbsol:Aah，明白了，数字应该是互质整数[gcd（X，Y）=1]，规则才能起作用。（我想你的意思是

1.m*2^e

）这不应该是

1.1000000*2^-4

？看，这正是那种“牵涉太深”吗我在我的问题中提到…@Kolink：答案本身就是一个句子，只使用熟悉的整数、乘法、幂和小于（或等于）的概念，精确地说明哪些数字可以表示，哪些数字不能表示。你能得到比这简单多少的答案？你有一个整数乘以的幂