Python 找出欠定线性系统中哪些变量是自由的

我有一个欠定的线性方程组。例如，这可以通过SimPy解决，其中的解决方案是一些自由变量的函数。我要找的是，哪些是自由变量。这组变量不是唯一的，但一个选项就足够了。比如说

[1  0  1] [x1] = [1]
[0  1  0] [x2] = [1]
          [x3]

这里，

x2

由第二个方程确定，并且

x1

或

x3

可以用作自由变量。例如，set

{x1}

就是我问题的有效解决方案

找到这一点的一种方法是使用SymPy并解析解决方案，以找到其中使用了哪些变量。这相当麻烦。有更好的方法吗？最好不进行任何符号计算（返回自由变量的索引）

这里提出了相同的问题，但没有回答，因为提问者想问其他问题：

他只是想要一个系统的单一解决方案。我想知道自由变量，甚至不需要知道解决方案。

这与类似，只是您需要自由变量，它对应于我们为列空间选择基础后保留的列。因此，集合差将一个问题转化为另一个问题。下面是一个略为复杂的矩阵示例：

import numpy as np
from scipy.linalg import lu
M = np.array([[1, 1, 0, 1], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 7, 0]])
U = lu(M)[2]
basis_columns = {np.flatnonzero(U[i, :])[0] for i in range(U.shape[0])}
free_variables = set(range(U.shape[1])) - basis_columns

回答：

{1,3}

---

警告：所有这些都对浮点错误很敏感，所以如果您在输入中有精确的有理数，并且希望保留它们，那么SymPy仍然是首选

我不确定这是否准确，但我认为自由变量是指任何变量中非关键元素的非零系数，以及它所描述的变量。

x3的方程式是什么？@EPo抱歉，我的矩阵不正确。我修复了它，现在下面的评论是正确的

x2=1

和

x1+x3=1

，因此

x1

或

x3

都可以自由选择