Python 函数scipy.linalg.lu中的上三角矩阵是否始终为行列形式？

我有一个m x n矩阵a，n>m，我试图通过它的行梯队形式来识别独立的行。函数scipy.linalg.lu返回矩阵的PLU分解，但U因子似乎不是梯队形式，即枢轴不是阶梯模式。据我所知，U因子应该总是在一个阶梯模式中

考虑以下示例：

from numpy import array
from scipy.linalg import lu

A = array([[1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0],
           [1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1],
           [1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0],
           [0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1],
           [1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1]])

P, L, U = lu(A)

U系数不是成排梯队形式。对于每一行k，枢轴应始终位于行k-1中枢轴的右侧。请参见第五行的轴不在第四行的轴的右侧：

array([[ 1.,  1.,  1.,  1.,  0.,  1.,  1.,  1.,  1.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.,  1.,  1.,  0.,  1.,  0.,  0.,  1.],
       [ 0.,  0., -1., -1.,  0.,  0.,  0., -1., -1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  0.,  0.,  1., -1.,  0.,  0.,  1.,  1.],
       [ 0.,  0.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0.,  1.,  1.,  1.]])

---

我以前从未见过LUP分解，但我怀疑它并不像你想象的那样。我在Matlab中进行了与上面在Python中相同的分解，得到了与您完全相同的结果。所以我不认为这是Python LU函数的问题

更新： 我也在R中实现了这一点（下面的代码），U矩阵再次给出了与Matlab和Python相同的结果。与其他警告不同，它给出了以下警告：

Warning message:
In .local(x, ...) :
  Exact singularity detected during LU decomposition: U[i,i]=0, i=4.

Matlab：

代码：

Matlab结果：
U=

Python结果（来自您的代码）：

R:

代码：

---

不能保证LU分解将产生行梯队形式的U矩阵。在这种情况下，它失败的原因可能是因为矩阵是奇异的；我强烈怀疑这就是原因，因为奇异矩阵的一个特征是缺少一组完整的枢轴

---

有关详细信息，请参见中的一般矩阵部分和其中提供的参考。

请提供示例代码。顺便说一下，我已经解决了通过QR分解识别独立行的问题，虽然我的第一次尝试是按照线性代数教科书，通过高斯消去法来识别它们。

scipy.linalg.lu

（）并没有说

U

将以行列形式（）。上面说是上三角形（），这很奇怪。根据U系数的以下属性（STRANG，1988，第72页），第五列中枢轴下方的元素应为零，而不是1:“（i）非零行排在第一位，否则会有行交换，枢轴是这些行中的第一个非零条目。（ii）每个支点下面是一列零，通过消去法获得。（iii）每个支点位于上一行支点的右侧。这产生了阶梯模式。”STRANG，G.线性代数及其应用。第三版，汤姆森，1988年。事实上，我应用LU分解的矩阵比上面例子中给出的矩阵大得多，而U因子在阶梯模式中比上面给出的要小得多。我目前的假设是Python和Matlab中LU函数计算的U因子中的行没有正确排序。我也在R中进行了因子分解（见更新的答案），它也给出了相同的结果。R给出的奇点警告仅对平方矩阵有意义。消除后，矩形矩阵的对角位置很可能有零。与平方矩阵不同，对角线中的零并不意味着矩阵是秩亏矩阵或没有逆矩阵。事实上，示例中的矩阵A是满秩的。有趣的是，如果我取消术语U[5,5]，通过减去第4行和第5行，我得到了预期的行梯队形式，但乘以因子PLU并不能恢复A。这似乎违反了Strang（1998，第72页）中的（iii）。我认为这更像是一个线性代数问题，而不是一个计算问题。我将在数学交流上发表这个问题。

A = ([[1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0],
           [1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1],
           [1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0],
           [0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1],
           [1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1]]);
[L,U,P] = lu(A);
U

     1     1     1     1     0     1     1     1     1     0
     0     1     0     1     1     0     1     0     0     1
     0     0    -1    -1     0     0     0    -1    -1     0
     0     0     0     0     1    -1     0     0     1     1
     0     0     0     0     1     0     0     1     1     1

U = 

array([[ 1.,  1.,  1.,  1.,  0.,  1.,  1.,  1.,  1.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.,  1.,  1.,  0.,  1.,  0.,  0.,  1.],
       [ 0.,  0., -1., -1.,  0.,  0.,  0., -1., -1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  0.,  0.,  1., -1.,  0.,  0.,  1.,  1.],
       [ 0.,  0.,  0.,  0.,  1.,  0.,  0.,  1.,  1.,  1.]])

library(Matrix)
A <- Matrix( c( 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0 , 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1 , 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0 , 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1 , 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ),nrow=5,ncol=10,byrow=TRUE )
expand(mylu <-lu(A))

class "dtrMatrix" (unitriangular)
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    1    .    .    .    .
[2,]    0    1    .    .    .
[3,]    1    0    1    .    .
[4,]    1    0    1    1    .
[5,]    1    0    1    0    1

$U
5 x 10 Matrix of class "dgeMatrix"
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,]    1    1    1    1    0    1    1    1    1     0
[2,]    0    1    0    1    1    0    1    0    0     1
[3,]    0    0   -1   -1    0    0    0   -1   -1     0
[4,]    0    0    0    0    1   -1    0    0    1     1
[5,]    0    0    0    0    1    0    0    1    1     1

$P
5 x 5 sparse Matrix of class "pMatrix"

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