Python 几何对称运算

这可能看起来有点奇怪，但我正在尝试将一些算术概念扩展到几何空间，我不缺少停止块。这次的具体问题是为几何空间提出一个等价的最小二乘度量

例如，平方运算在算术上具有这一特性，因为算术逆运算就是否定运算。代码：

def arithmetically_symmetric(a):
    return a**2

arithmetically_symmetric(a) == arithmetically_symmetric(-a)
>>> True
arithmetically_symmetric(a) == arithmetically_symmetric(b)
>>> False

然而，在几何空间中，倒数就是倒数，就我的一生而言，如果没有某种案例陈述，我想不出一种方法来做到这一点。基本上，我正在寻找一个这样工作的函数：

geometrically_symmetric(a) == geometrically_symmetric(1/a)
>>> True
geometrically_symmetric(a) == geometrically_symmetric(b)
>>> False

添加最后一个条件，以使以下的平凡解决方案：

def geometrically_symmetric(a):
    return a * 1/a

这不是一个选择

具体而言，我正在寻找的解决方案不是：

def geometrically_symmetric(a):
    if a < 1:
        return 1/a
    return a

def几何对称（a）：
如果a<1：
返回1/a
归还

---

因为我这里的主要抱怨是理论上的，而不是实践上的。

对数的平方如何？差不多

import math

def geometrically_symmetric(a):
    x = math.log(a)
    return x*x

geometrically_symmetric(2.) == geometrically_symmetric(.5)   # True

geometrically_symmetric(2.) == geometrically_symmetric(.6)   # False

---

如果您只需要它来处理正数，这很简单：

def gs(a):
    return a**2 + (1/a**2)

该结果由任何具有其自身乘法逆的正数共享，并且没有其他正数。例如，

gs（2）==gs（0.5）==4.25

---

不幸的是，它也与它的算术倒数相同：

gs（2）=gs（0.5）=gs（-2）==gs（-0.5）==4.25

但我们可以通过复制符号来解决这个问题：

def gs(a):
    return (a**2 + (1/a**2)) * abs(a)/a

现在，

gs（2）==gs（0.5）==4.25！=gs（-2）==gs（0.5）=-4.25

如果你不喜欢

abs

，因为里面有一个隐藏的

If

，那么，没有。坚持使用浮动，显然可以执行

a**2**.5

---

这就得到了所有的非零浮动。零显然在域之外，因为

gs（0）

应该等于

gs（1/0）

，这不是一个数字

---

但是，它仍然不适用于复数-

gs（i）==2i==gs（-1/i）

，但是

gs（1/i）=-2i==gs（-i）

。为此，你只需要乘以共轭，而不是平方。

这个问题似乎离题了，因为主要问题是数学；如果您知道答案，那么在Python中实现它将是微不足道的。所以它可能属于其他地方，比如。你有没有考虑过买一本关于几何学或拓扑学的书？这听起来像是已经被很好地研究过的东西。@abarnert我试过了，但他们认为这太像编程了，所以我把它移到了这里……同时，答案是否必须在域的相同范围内（float或rational或你正在使用的任何东西），还是可以是二维数（复数、对偶或双曲线）？由于

log（）

将

1/x

映射到

-y

，因此

log（x）

的任何对称函数都应允许您执行所需操作。正如@tom10所提到的，

log（x）**2

可以很好地工作，但是更自然的函数可能是

exp（log（x）**2）==x**log（x）

，或者

exp（-log（x）**2）==x**（-log（x））

，但这只适用于正数，正数很容易，你只需要

a**2+（1/a**2）

@abarnert:OP并没有真正定义他希望在这种情况下发生什么，所以我不会特意去解决它。有多个解是“几何对称的”，我刚才介绍这个是为了提醒OP，log将乘法转换为加法，这对思考这类问题很有用。是的，这对理解这个问题绝对有帮助。但我认为很明显他想在这种情况下发生什么：

gs（-2）==gs（-5）

。他还能说什么？真的，我不想浪费时间去猜他的意思。如果你觉得你知道，那就给你更多的权力。你认为几何对称（a）=几何对称（1/a）不够清楚吗？对我来说，这对

a===-2

意味着什么似乎很明显。