Math 通过两个已知点和一个点的角度计算圆

我知道点A处的角度，并且圆穿过点A和点B。应该有一个唯一的解决方案，根据该信息给出圆心（C）和半径（R）。我试图找到一个公式如下

R^2 = (Bx - Cx)^2 + (By - Cy)^2
Cx = Ax - R*dy
Cy = Ay + R*dx

（dx，dy）是点a处与圆相切的单位向量，可以从点a处与sin，cos的角度找到。圆心是在垂直于（dx，dy）的方向上距点A的距离R

把这些放在一起让我

R^2 = (Bx - Ax + R*dy)^2 + (By - Ay - R*dx)^2

乘以这个，我得到一个R的二次型，但是二次型的分母（2a部分）是

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因为（dx，dy）是单位向量，分母总是0，我得到一个除以零的误差。我哪里出错了？

假设你指的是AB线和切线之间的角度。l、 在A处的圆的形状：

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关键是画AB的垂直平分线和垂直于l的线穿过A，并找到交点。那将是你圈子的中心。

我觉得这个公式很好。让我们展开表达式

R^2 = (Bx - Ax + R dy)^2 + (By - Ay - R dx)^2

这给

R^2 = Bx^2 + Ax^2 + R^2 dy^2 + 2 Bx R dy - 2 Ax Bx - 2 Ax R dy
    + By^2 + Ay^2 + R^2 dx^2 - 2 By R dx - 2 Ay By + 2 Ay R dx

重新安排

(1 - dx^2 - dy^2) R^2 + 2 (Ax dy - Ay dx - Bx dy + By dx) R + 2 (Ax Bx + Ay By) = 0

(1-dx^2-dy^2) R^2 + 2 (v dx - u dy) R - u^2 - v^2 = 0

如果（dx，dy）是单位向量，则R^2项消失。这不是一个问题，它只是意味着你要解一个线性方程

2 (Ax dy - Ay dx - Bx dy + By dx) R + 2 (Ax Bx + Ay By) = 0

这很容易解决

R = - (Ax Bx + Ay By) / (Ax dy - Ay dx - Bx dy + By dx)

如果你让U=（U，v）=（Bx Ax，y）作为从a到B的向量，我们的方程就变得简单了

R^2 = (u + R dy)^2 + (v - R dx)^2
    = u^2 + 2 u dy R + dy^2 R^2 + v^2 - 2 v dx R + dx^2 R^2

重新安排

(1 - dx^2 - dy^2) R^2 + 2 (Ax dy - Ay dx - Bx dy + By dx) R + 2 (Ax Bx + Ay By) = 0

(1-dx^2-dy^2) R^2 + 2 (v dx - u dy) R - u^2 - v^2 = 0

设T=（dx，dy）为切线，N=（dy，-dx）为法线。如果是单位长度，则简化为

  2 (N . U) R - U . U = 0

给予

 R = (U . U)/ 2 (N . U)

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我从理论上解决了这个问题。 圆的坡度等于半径1

因此：

斜率=（上升^2+运行^2）^（1/2）=1

，

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所以

dy^2+dx^2=1^2

和

（dy^2+dx^2）^（1/2）=1

“我知道A点的角度”？角度呢？不清楚-1.请添加一张图纸-如果这是连接点a到中心的线的角度，沿着这条线，两个点之间有无限个圆-在图像a和B中是点，α是角度到a的可能解释，和c-c'是两个圆心，都满足所有条件，但描述不同的圆。你是指线段AB与A处圆的切线之间的角度吗？查看圆心的方程式，用户表示切线的角度。非常感谢。我觉得很愚蠢，因为我没有意识到R^2项消失了。如果我把它写出来，而不是试图通过使用符号数学工具来节省时间，那么我可能会意识到。我没想到它会这么简单。最终的解决方案非常简单。下面是我为测试它而编写的一些Matlab代码。p1=[2]；p2=[5]；角度=20；d=[sind（角度）cosd（角度）]；n=[d（2）-d（1）]；pd=p2-p1；r=（pd*pd'）/（2*（n*pd'）；c=p1+r*[d（2）-d（1）]；绘图（[p1（1）p2（1）]，[p1（2）p2（2）]，“r.”）保持矩形（'Position'，[c-R2*R2*r]，“Curvature'，[1]）轴相等我确信最终公式有几何解释。