Math 以角度分隔的轴

我试图从通常用于指定晶体学单位细胞的参数中生成一些轴向量。这些参数包括三个轴的长度：a、b、c以及它们之间的角度：α、β、γ。按照惯例，α是b轴和c轴之间的角度，β是a轴和c轴之间的角度，γ是a轴和b轴之间的角度

现在获取前两个的向量表示很容易。我可以任意设置a轴到x轴，所以a_轴=[a，0,0]。然后我需要将b从a旋转gamma角，这样我就可以在x-y平面上旋转，b_轴=[b*cos（gamma），b*sin（gamma），0]

问题是第三个向量。我想不出一个干净的方法来确定它。我已经想出了一些不同的解释，但没有一个能解释清楚。一种是想象在轴a和轴b周围有两个圆锥体，其大小由角度α和β指定。这些圆锥体的交点创建两条直线，正z方向的一条直线可用作长度为c的轴_c的方向

有人知道我应该如何确定轴c吗

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谢谢。

我不确定这是否正确，但我还是试试看。希望我不会得到10亿的反对票

我懒得按必要的量缩放向量，所以我假设它们都已规格化，长度为1。您可以对计算进行一些简单的修改，以考虑不同的大小。另外，我将使用*表示点积

A=（1,0,0）

B=（cos（g），sin（g），0）

C=（Cx，Cy，Cz）

A*C=cos（beta）//这只是点积的定义。我假设震级是1，所以我可以跳过这部分，你说β是A和C之间的角度

A*C=Cx//I是通过将每个对应的值相乘来实现的，而Cy和Cz被忽略，因为它们被乘以0

cos（beta）=Cx//组合前两个方程

B*C=cos（α）

B*C=Cx*cos（g）+Cy*sin（g）=cos（beta）*cos（g）+Cy*sin（g）

（cos（alpha）-cos（beta）*cos（g））/（sin（g））=Cy

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老实说，我不知道如何得到向量C的z分量，但我希望这是一个相对简单的步骤。如果我能弄明白，我会编辑我的帖子。

这里有一种方法可以找到所有的Cx，Cy，Cz（前两个与另一个答案相同），假设a=（Ax，0,0），B=（Bx，By，0），并假设| C |=1

1） cos（beta）=AC/（A | | | C |）=AxCx/| A |=>

Cx=| A | cos（beta）/Ax=cos（beta）

2） cos（alpha）=BC/（|B | C |）=（BxCx+ByCy）/|B |=>

Cy=（|B | cos（alpha）-Bx cos（beta））/By

3） 为了求Cz，设O是（0,0,0）处的点，T是（Cx，Cy，Cz）处的点，p是T在Oxy上的投影，Q是T在Ox上的投影，所以p是（Cx，Cy，0）处的点，Q是（Cx，0,0）处的点。因此，从直角三角形OQT我们得到

tan（β）=QT |/| OQ |=| QT |/Cx

从直角三角形TPQ我们得到| TP | ^2+| PQ | ^2=| QT | ^2。所以

Cz = |TP| = sqrt(|QT|^2 - |PQ|^2) = sqrt( Cx^2 tan(beta)^2 - Cy^2 )

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已知长度的两个矢量u、v之间的角度α可从其内积（点）中找到：

cos（alpha）=/（u | | | | | | | v | |）

也就是说，α的余弦是两个向量的内积除以其长度的乘积

第三个的z分量可以是任何非零值。在获得正确的角度后缩放任何或所有轴向量不会改变角度，因此假设（假设）Cz=1

现在前两个向量也可以是A=（1,0,0）和B=（cos（gamma），sin（gamma），0）。这两者的长度均为1，因此选择C需要满足两个条件：

cos（alpha）=/| C||

cos（β）=/| | C||

现在我们只有两个未知数，Cx和Cy，需要解决。为了简单起见，我将把它们称为x和y，即C=（x，y，1）。因此：

cos（alpha）=[cos（gamma）*x+sin（gamma）*y]/sqrt（x^2+y^2+1）

cos（beta）=x/（sqrt（x^2+y^2+1）

将第一个方程除以第二个方程（假设β不是直角！），我们得到：

cos（α）/cos（β）=cos（γ）+sin（γ）*（y/x）

这是一个线性方程，用来求解比率r=y/x。一旦你得到了，用上面第二个方程中的y=rx代替，然后平方得到x的二次方程：

cos^2（beta）*（1+r^2）x^2+1）=x^2

cos^2（beta）=（1-cos^2（beta）*（1+r^2））x^2

x^2=cos^2（beta）/[（1-cos^2（beta）*（1+r^2））]

通过对方程进行平方运算，我们引入了一个伪影根，对应于选择x的符号。因此，在“原始”第二个方程中检查x的解，以确保得到cos（beta）的正确符号

添加：

如果β是直角，事情比上面简单。x=0是强制的，我们只需要解y的第一个方程：

cos（alpha）=sin（gamma）*y/sqrt（y^2+1）

对分母进行平方和乘法运算，得到y的二次值，类似于我们之前所做的。请记住检查您对y符号的选择：

cos^2（alpha）*（y^2+1）=sin^2（gamma）*y^2

cos^2（alpha）=[sin^2（gamma）-cos^2（alpha）]*y^2

y^2=cos^2（α）/[sin^2（γ）-cos^2（α）]

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实际上，如果其中一个角度α，β，γ是直角，最好标记该角度γ（在前两个向量a，B之间）为了简化计算。

是的，z是个杀手……我已经能够计算出c_轴投影到xy平面上的“阴影”会击中的x/y坐标，但没有取得任何进展。谢谢！我已经把它复杂化了。我必须记住，对方程进行分割是可以的！我想这就是我应该做的重复这种方法。再次感谢。欢迎！我们可以通过平方两个方程并清除分母，然后求解两个未知的线性方程来避免方程的分割