Math 将快速逆应用于串联4x4仿射变换？

是否可以将矩阵的快速逆应用于纯旋转矩阵和平移矩阵的串联，例如

M=T2*R1*T1*R1

如果旋转和平移存储在4x4齐次列顺序矩阵中，我可以说：

M1 = [ R1  t1 ]  given by [ 1  t1 ] * [ R1 0 ]
     [ 0    1 ]           [ 0   1 ]   [ 0  1 ]

及

因为R1是旋转，所以我们知道inv（R1）=转置（R1），所以我们可以简单地说：

inv(M1) = [transp(R1)  transp(R1)*-t1 ] 
          [ 0               1         ]  

现在给出一些其他类似的旋转和平移矩阵M2，若我们说这两个矩阵的串联形式是

MFinal=M2*M1=T2*R1*T1*R1

我们可以这么说吗

inv(MFinal) = [transp(MFinalRot)  transp(MFinalRot)*-tfinal ] 
              [ 0                             1             ] 

其中，MFinalRot是4x4矩阵的旋转部分

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此外，如果顺序更为任意，例如

MFinal2=R3*T3*T2*R2*T1*R1

，但仍仅单独旋转和平移，该怎么办？

是的，如果4x4矩阵是纯旋转和平移矩阵的串联，则应能够计算快速逆矩阵，如下所示：

fast_inverse( [R1  t1] ) = [transpose(R1)  transpose(R1)*(-t1)]
              [0    1]     [     0                1           ]

这是因为3x3旋转矩阵（

R1

）将仅是输入旋转矩阵的乘积，因此它本身应该是旋转矩阵，其转置应该是其逆矩阵

如果任何串联矩阵是缩放矩阵，或者如果最下面一行不是

[0 0 0 1]

，则这不再是真的

还要注意：在实践中，如果将足够多的矩阵相乘在一起，浮点错误可能会导致它们“漂移”一些，因此它们可能不像新生成的矩阵那样接近正确的旋转矩阵。根据您使用它的方式，这可能不是问题——但如果是，您可以“重新正交规格化”它，如下所示：

orth(Vec3 a, Vec3 b): // return value orthogonal to b
  return (a - (dot(a,b)/dot(b,b)) * b)

re_orthonormalize(Mat3x3 Rin):
  Vec3 x = Rin.x;
  Vec3 y = orth(Rin.y, x);
  Vec3 z = orth(orth(Rin.z, x), y);
  return Mat3x3(normalize(x),normalize(y),normalize(z))

只要你的输入不是太远，这应该给你一个合适的旋转矩阵

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要查看

re_正交规范化

代码的工作原理，首先获取

orh

输出及其

b

输入的点积。由于点积是线性的，我们有：

dot(a - (dot(a,b)/dot(b,b)*b, b)
  == dot(a,b) - (dot(a,b)/dot(b,b)) * dot(b,b)
  == dot(a,b) - dot(a,b)
  == 0

因此，如果

a

和

b

已经基本上是正交的，

ortho（a，b）

添加少量

b

，以确保点积真的是

0

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这意味着在

re_正交规范化

中，

y

与

x

完全正交。棘手的一点是确保

z

与

x

和

y

正交。这仅仅是因为我们已经确定了

x

与

y

完全正交，所以添加一点

y

不会阻止

orh（Rin.z，x）

与

x
正交，两个方阵的乘积（p=AB）的逆通常是Inv（B）*Inv（a）。旋转和平移将通勤。通常，您必须按照应用操作的相反顺序展开操作

但是在这种情况下，R1*T1*R2*T2=R1*R2*T1*T2，然后可以计算串联的逆，作为单个旋转和平移的合成的逆

是的，这是纯旋转和平移的声音。
我不太理解重新正交规范化的代码，但我理解这个概念。例如，我可以说我将用x和z的叉积重新计算y轴，然后对所有3个轴进行规格化吗？您的重新规范化是否比这更正确/有效？是的。您需要确保所有三个输出向量彼此正交，并且点积可能更有效。好的，我明白了，另外，您如何决定何时执行此操作？我能想到的唯一一件事就是在每次X变换后都这样做，其中X=？好吧，试着将快速逆的结果与原始值相乘。如果结果离单位矩阵太远，你就有问题了。但是，你可能只需要累加任意数量的矩阵就可以了。如果你有一个旋转的立方体，每帧乘以一个小的旋转。。。
dot(a - (dot(a,b)/dot(b,b)*b, b)
  == dot(a,b) - (dot(a,b)/dot(b,b)) * dot(b,b)
  == dot(a,b) - dot(a,b)
  == 0