Math 在多个点拆分三次bezier曲线

我正在写一个算法，将一条三次贝塞尔曲线分割成多条曲线（最多4条）。我从一开始就有我想要分割的每个点的t值。我还有一个算法，可以将曲线分割一次：

SubdivPoints subdivideBezier(Vector2 p0, Vector2 p1, Vector2 p2, Vector2 p3, float t)
{
    Vector2 p11 = (p1 - p0) * t + p0;
    Vector2 p21 = (p2 - p1) * t + p1;
    Vector2 p31 = (p3 - p2) * t + p2;

    Vector2 p12 = (p21 - p11) * t + p11;
    Vector2 p22 = (p31 - p21) * t + p21;

    Vector2 p13 = (p22 - p12) * t + p12;

    return SubdivPoints(p11, p12, p22, p31, p13);
}

---

我的问题是，有没有一种简单的方法可以将其扩展为多次拆分？我想在每次分割之后，我都想重新计算t值；我想知道的一件事是，简单的算术在这里是否有效。例如，假设t值为0.2和0.6。我在t=0.2时分割曲线，得到两条曲线。第二条曲线覆盖了原始曲线的t值0.2很难说，即使您当前的方法有效，因为我们看不到

子节点后面的内容。我可以想出两种方法：

代数的

如果你把你的问题看作是多项式的参数
t
缩放，那么它就变得更清晰了。例如，您需要零件t=
的控制点。这意味着我们需要形成新的控制点，用参数
u=
表示相同的曲线。怎么做

将BEZIER写成多项式
每个轴都可以以相同的方式单独完成。s让我们只关注
x
-轴。我们有4个贝塞尔控制点，x坐标
（x0，x1，x2，x3）
。如果我们应用bernstein多项式形成三次多项式，我们得到：

x(t)=      (                           (    x0))
    +    t*(                  (3.0*x1)-(3.0*x0))
    +  t*t*(         (3.0*x2)-(6.0*x1)+(3.0*x0))
    +t*t*t*((    x3)-(3.0*x2)+(3.0*x1)-(    x0))

通过替换重新缩放参数
为此使用线性插值，以便：

t0=0.25 -> u0=0.0
t1=0.50 -> u1=1.0
t=t0+(t1-t0)*(u-u0)/(u1-u0)
t=0.25+0.5*u

现在用
u
而不是t重写多项式

x(t)=             (                           (    x0))
    +(0.25+u/2)  *(                  (3.0*x1)-(3.0*x0))
    +(0.25+u/2)^2*(         (3.0*x2)-(6.0*x1)+(3.0*x0))
    +(0.25+u/2)^3*((    x3)-(3.0*x2)+(3.0*x1)-(    x0))

更改多项式形式以再次匹配贝塞尔方程
现在您需要为
u^0、u^1、u^2、u^3
分离多项式项，并对每个项进行改革以匹配贝塞尔风格（来自#1）。从中提取新的控制点

例如，术语u^3是这样的。获得u^3的唯一可能性是从

(1/4+u/2)^3= (1/8)*u^3 + (3/16)*u^2 + (3/32)*u + (1/64)

因此，分隔的
u^3
术语将为：

u*u*u*((    x3)-(3.0*x2)+(3.0*x1)-(    x0))/8

其他的会有点复杂，因为你需要把所有的线组合在一起。。。简化后，需要分离新坐标。正如你所看到的，这有点疯狂，但也有代数解算器，比如为Windows导出

很抱歉，我没有时间/心情/胃口对所有术语进行完整的示例，但你会看到这将是一个相当疯狂的过程

曲线拟合

这是基于您正在查找控制点的坐标并检查它与所需曲线的距离。所以尽可能地测试“”“点并记住目标范围上的原始曲线和新曲线之间的紧密匹配。这是无法解决的，因为可能有无限多的控制点，所以我们需要通过开发一些东西将这些控制点缩减到可管理的规模。例如，我们现在的控制点将不会远离原始控制点，因此我们可以使用它来限制每个点的面积。您可以使用这个或任何其他最小化技术

如果使用插值立方，也可以获得更好的起点。看见因此：

从贝塞尔曲线计算4个新的插值立方控制点

所以如果我们的范围和以前一样的话

X0 = BEZIER(t0-(t1-t0))
X1 = BEZIER(t0)
X2 = BEZIER(t1)
X3 = BEZIER(t1+(t1-t0))

这些是插值立方控制点，而不是贝塞尔。它们应该均匀分布
X1，X2
是曲线端点，
X0，X3
在它们之前和之后，以尽可能保持局部形状和参数的线性

将
（X0，X1，X2，X3）
转换回贝塞尔控制点
（X0，X1，X2，X3）

您可以使用上面链接中的我的公式：

// input: X0,Y0,..X3,Y3  ... interpolation control points
// output: x0,y0,..x3,y3 ... Bezier control points
    double x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,m=1.0/9.0;
    x0=X1;             y0=Y1;
    x1=X1+((X1-X0)*m); y1=Y1+((Y1-Y0)*m);
    x2=X2+((X2-X3)*m); y2=Y2+((Y2-Y3)*m);
    x3=X2;             y3=Y2;

正如您所见，每个轴的计算方式相同

对BEZIER控制点应用近似搜索

新的
（x0，x1，x2，x3）
还不精确，因为盲目地改变控制点，我们可能会错过一些曲线扭曲形状的局部极值。所以我们需要寻找真正的。幸运的是，新的控制点
（x0'，x1'，x2'，x3'）
将非常接近这些点，因此现在我们必须搜索每个点，仅在其相对部分附近，周围有一些合理的半径（如边界框
大小/8
或其他什么…，您将看到结果并可以调整


[notes]

如果您需要精确的结果，则只有#1方法可用。方法#2总是会有一些错误。如果形状不需要精确，有时将插值立方转换为BEZIER而无需最终拟合就足够了（如果切割区域内/附近的形状不太复杂）

正如我之前所写的，如果不知道您的
子节点使用了哪种原则，就不可能回答重复使用它会产生什么结果

此外，您没有指定解决方案的约束，如结果的准确性、速度/运行时限制……如果范围是固定的（恒定的）或在运行期间可能会发生变化（这将使#1方法非常复杂，因为您需要将范围作为变量处理到最后）
，因为您的subdivideBezier（）函数确实遵循了De Casteljau算法，我假设它可以在参数t处细分一条三次Bezier曲线。所以，是的，继续在不同的参数下细分（比如t2），您所需要做的就是找出细分后的曲线t2，根据该曲线计算新的t2*并细分。在您希望在t=0.2和0.6处细分的示例中，0.6的新参数应为（0.6-0.2）/（1-0.2）=0.5。所以，你可以简单地在t=0.5处细分第二条曲线。
这就是我希望我能做的，但是这在数学上被证明了吗？我的意思是，我可以这样做，看看我能不能