Math 'atan'函数在不动点上的逼近

我必须做一些需要使用三角函数的计算，特别是

atan

one。代码将在Atmega328p上运行，为了提高效率，我不能使用

float

s：我使用的是定点数字。因此，我不能使用标准的

atan

函数

我需要一个函数，该函数以定点格式s16_10（有符号，16位宽度，第10位的点）获取值，并返回s16_6格式。输入将在0和1之间（so 0和210），因此输出（以度为单位）将在-45和45之间（so-45*26和45*26）

假设Y是不动点，Y的s16_6表示，弧的实际角度，x如

atan（x）=Y

，x是x的s16_10表示。我首先用四次多项式将

atan

函数从（0,1）近似到（-45,45），发现我们可以使用：

y ~= 8.11 * x^4 - 19.67 * x^3 - 0.93 * x^2 + 57.52 * x + 0.0096

这导致：

Y ~= (8.11 * X^4)/2^34 - (19.62* X^3)/2^24 - (0.93 * X^2)/2^14 + (57.52*X)/2^4 + 0.0069 * 2^6

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我被困在这里。。。一方面，计算

X^4

将导致定义间隔的五分之一为0，另一方面，{3，2，1}中的2n4n通常也将导致零值。。。我该怎么办？

有些术语被截断为零并不一定是一场灾难；这并不会严重恶化您的近似值。我在Matlab中模拟了固定精度设置，将多项式的每个项舍入为最接近的整数：

q4 = @(X) round((8.11 * X.^4)/2^34);
q3 = @(X) -round((19.62* X.^3)/2^24);
q2 = @(X) -round((0.93 * X.^2)/2^14);
q1 = @(X) round((57.52*X)/2^4);
q0 = @(X) round(0.0069 * 2^6);

诚然，在区间[0210]的前五分之一处，第四季度、第三季度、第二季度的数据看起来相当波动，而第四季度基本上不存在

但是这些舍入效应的大小与多项式逼近atan的理论误差大致相同。下图中，红色表示不舍入为整数计算的差值（多项式atan），绿色表示差值（q4+q3+q2+q1+q0 atan）：

正如您所看到的，舍入并不会使近似值变得更糟；在大多数情况下，它实际上通过一次愉快的意外减少了错误

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我注意到你的多项式系统地高估了atan。当我用Matlab将一个四次多项式拟合到[0,1]上的atan时，系数略有不同：

8.0927  -19.6568   -0.9257   57.5106   -0.0083

即使将它们截断为两个有效数字，正如您所做的，我也得到了一个更好的近似值：

(8.09 * X^4)/2^34 - (19.66* X^3)/2^24 - (0.93 * X^2)/2^14 + (57.52*X)/2^4 - 0.0083 * 2^6

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这一次，对整数的截断确实使情况恶化。但可以预期，如果将多个中间结果四舍五入为整数，则计算结果将减少+-2左右。该多项式所示的+-0.5的理论精度无法用给定的算术工具实现

最后一句中可能有拼写错误（“另一方面，2n4通常也会导致错误”）-请澄清。另外，当某个中间结果为0时，为什么这是一个问题？还有，你必须使用泰勒级数吗？没有哪一种可能更有效；我从未听说过Atmega328p，因此无法确定哪种算法更好。@Anatolig为了清晰起见，我编辑了答案！这是一个问题，因为前三名成员始终为零。。。我找不到一个不使变量为零的近似值。我不知道这是泰勒系列，但我会看看CORDIC算法你用的是

\u Accum

还是自定义类型？我用的是

typedef int16\u fixed 16\u p

其中p是点的位置