Math 乘矩阵

这两段伪代码之间的区别是什么

// Multiplying a matrix by the difference between each frame
float difference = current - previous; // Time since previous frame
float angle = difference / 500;
matrix rotation;
rotation.RotateX(angle);
rotation.RotateY(angle);
worldMatrix *= rotation; // Note multiply

// Multiplying a matrix by the difference between current and start
float difference = current - start; // Time since first frame
float angle = difference / 500;
matrix rotation;
rotation.RotateX(angle);
rotation.RotateY(angle);
worldMatrix = rotation; // Note assignment

每段代码之间只有很小的差异，但会导致很大的视觉差异。输入如下所示：

第1帧：旋转=1弧度
世界矩阵*=旋转
第2帧：旋转=1弧度
世界矩阵*=旋转
等等

第1帧：旋转=1弧度
世界矩阵=旋转
第2帧：旋转=2弧度
世界矩阵=旋转
等等

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区别似乎在于第一个样本将通过旋转矩阵改变当前世界矩阵。第二个示例用旋转矩阵替换世界矩阵。如果在此之前没有对世界矩阵应用任何其他操作，您可能看不到任何差异，但如果在此之前应用了任何操作，则第二个代码示例将丢弃这些操作

问题是，您是否希望对世界矩阵的更改是累积的？第一个代码示例将给您一个累积效应，第二个不会。

实际上，结果应该不同（即使您没有考虑累积误差，如上所述）。原因是顺序在旋转中很重要：先绕X旋转，然后绕Y旋转，不同于先绕Y旋转，然后绕X旋转

在矩阵表示法中（据我所知，您的设置），您具有以下理想行为：

let angle = (end - start)/500
  Rx = rotate.RotateX(angle)
  Ry = rotate.RotateY(angle)

then, foreach frame in (0..500):
cumulative: Rc = Rx * Ry * Rx * Ry * ... * Rx * Ry
               = (Rx * Ry)^frame
assignment: Ra = Rx * Rx * ... * Ry * Ry * ....
               = (Rx)^frame * (Ry)^frame

关于伪代码的一些注释：这里的惯例是我们从左到右乘矩阵（这意味着点是行向量）。此外，如果不清楚，

（矩阵）^N

是矩阵求幂：按顺序将

N

个

（矩阵）

的副本相乘

对于累积情况，OQ从一个单位矩阵开始，依次乘以小旋转

Rx

和

Ry

；你的

旋转

等于我的

（Rx*Ry）

。然后它将

worldMatrix

乘以该矩阵多次；这意味着对于任何给定帧，

worldMatrix

=

initial_worldMatrix*（Rx*Ry）^frame

对于赋值情况，将角度计算为

frame*total_angle/total_frames

。这相当于按顺序旋转

总角度/总帧

次，这很重要，因为这些小旋转与累积情况下使用的小旋转完全相同。因此，在赋值情况下，您的代码正在计算

（Rx）^frame*（Ry）^frame

，并每次将worldMatrix重置为该值

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关键是这些是不同的矩阵；即使有完美的数学，它们也应该看起来不同

你应该选择哪一个取决于你想要什么样的行为。累积版本将近似于围绕X轴和Y轴之间的对角线轴旋转；分配版本的作用类似于旋转万向节

如果您确实想要累积行为，有比将多达500个矩阵相乘更好的方法（如上所述，您的矩阵将由于浮点错误而漂移）。具体来说，可以围绕Z轴旋转45度，然后围绕X轴旋转帧/500，然后围绕Z轴旋转-45度，以获得类似的效果

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要详细说明这两种情况之间的区别：

在累积的情况下，你先围绕X旋转一点，然后围绕Y旋转一点，重复多次。如果旋转很小，则组合两个小旋转的结果将是围绕某个轴的小旋转（如果它们不是那么小，则轴可能不完全位于这两个轴之间，但仍然是特定旋转）。关键是，如果你重复这对旋转，结果将是该轴上的旋转越来越多，不管它是什么

在赋值的情况下，你要做的是围绕X的旋转，然后围绕Y的旋转。这会使旋转变大，这会产生不同。可视化差异的一种方法是想象一组坐标轴：较大的X旋转将使原始Y轴偏离直线，从而以不同的方式应用Y旋转

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用数学术语来说，之所以会有如此大的差异，是因为一般来说，旋转是不可交换的：换句话说，顺序很重要。请注意，小旋转近似可交换（当旋转角度接近零时，

Rx*Ry

和

Ry*Rx

之间的差值以二次方式接近零——将角度减半可将差值减少4倍），但当您将所有小旋转合并为两个大旋转时，你做了这么多的重新排序，这使一个巨大的差异。即使每个单独的交换（

Rx*Ry

->

Ry*Rx

）只有很小的影响，将N

Rx

迁移到一侧实际上是一种冒泡排序：通常需要O（N^2）个交换来完成……

，分配版本比累积版本更可取。如果将500个旋转矩阵相乘，由于浮点问题，结果将趋向于漂移-结果可能会越来越不像旋转矩阵…第一个示例应该演示累积效应-但实际上它不起作用。我得到的旋转与第二个示例完全不同。累积=轴旋转&分配=旋转万向节正是我看到的，感谢您准确理解了我在原始问题中试图提出的问题。您能再解释一下累积/分配psuedo代码吗？我试图理解为什么数学如此不同。谢谢