Math 通过3点关联对齐点云？

假设我有3个点云：第一个有3个点{x1，y1，z1}，{x2，y2，z2}，{x3，y3，z3}，第二个点云有与{xx1，yy1，zz1}，{xx2，yy2，zz2}，{xx3，yy3，zz3}相同的点。。。我假设将第二个点云与第一个点云对齐，我必须将第二个点云的点乘以T[3x3矩阵]

1） 那么如何找到这个变换矩阵（T）？我试着用手解方程，但没能解出来。有什么解决办法吗？因为我很确定我不是第一个遇到这个问题的人

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2） 我假设矩阵可能包括倾斜和剪切。有没有办法找到只有7个自由度的矩阵（3平移，3旋转，1标度）？

以单位向量{1,0,0}，{0,1,0}和{0,0,1}到{x1,y1,z1}，{x2，y2,z2}，{x3，y3,z3}为单位的变换矩阵T1是简单的

| x1 x2 x3 | T1 = | y1 y2 y3 | | z1 z2 z3 | |x1x2x3| T1=| y1 y2 y3| |z1 z2 z3| 同样地，将这3个单位向量带到第二组点的变换T2是

| xx1 xx2 xx3 | T2 = | yy1 yy1 yy3 | | zz1 zz2 zz3 | |xx1 xx2 xx3| T2=| yy1 yy1 yy3| |zz1 zz2 zz3| 因此，将前三个点取为后三个点的矩阵由T2*T1-1给出。如果T1是非奇异的，那么这个变换是唯一确定的，所以它没有自由度。如果T1是一个奇异矩阵，那么可能没有解，或者可能有无穷多个解

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当你说你想要7个自由度时，这有点滥用术语。在一般情况下，该矩阵由3个旋转自由度、3个缩放自由度和3个剪切自由度组成，总共9个。您可以通过执行以下操作来确定这些参数。Q矩阵给出旋转参数，R矩阵给出缩放参数（沿对角线）和剪切参数（对角线上方）。

Adam Rosenfield的方法是正确的。但作为T2*Inv（T1）的解决方案是错误的。因为在矩阵乘法中A*B！=B*A：因此结果是Inv（T1）*T2

您所说的被称为三维保角变换，或者有时是三维相似变换，因为两个云是相似的。如果两个形状相同，Adam Rosenfields的解决方案是好的。如果存在微小差异，并且您希望获得最佳拟合，最常用的解决方案是使用最小二乘法来最小化残差。维基百科和谷歌在这方面的东西乍一看似乎并不好。关于这一点，我的参考文献是Ghilani&Wolf的，第345页。这也是一本关于矩阵数学应用于空间问题的好书，也是图书馆的一个很好的补充

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编辑：Adam的9参数版本的此变换称为

这里是一个计算R中2D仿射变换参数的最小二乘估计的方法。

否，取决于矩阵向量乘法的约定。如果将右边的（列）向量相乘，那么我的公式是正确的。如果你将左边的（行）向量相乘，那么你的向量是正确的，但是你还必须转置T1和T2。你有没有指向Helmert解决方案的代码/库的指针？我所能想到的就是使用它来转换已知转换的实现。