Math 将二维三角形上的点投影回三维？

我不确定要搜索什么，所以我无法找到我需要的东西

假设我有一个带有点的三维三角形

[0,1,1]，[1,0.5,0.5]，[0,0,0]

。我放弃了Z分量，创建了一个带有点的二维三角形

[0,1]，[1,0.5]，[0,0]

。（我认为这是一个正交投影？）通过一个不重要的过程，我找到了二维三角形中的一些二维点，比如说

[0.5,0.5]

我如何获取该2D点，并找到其Z值，使其位于原始3D三角形形成的平面上

通过代码而不是数学符号来描述数学的答案（或复制链接！）将非常受欢迎；我很难读懂你的答案。

你可以用

因此，您得到了二维三角形

q0、q1、q2

和相应的三维三角形

p0、p1、p2

，并希望将二维点

q

转换为三维点

p

计算

q0、q1、q2内
q
的重心坐标
u、v

看

使用三角形将

u，v

转换为笛卡尔坐标

p0，p1，p2

因此，当把它们放在一起时：

| u |           | (q1.x - q0.x) , (q2.x - q0.x) , q0.x |   | q.x |
| v | = inverse | (q1.y - q0.y) , (q2.y - q0.y) , q0.y | * | q.y |
| 1 |           |       0       ,       0       ,   1  |   |  1  |

p.x = p0.x + (p1.x - p0.x) * u + (p2.x - p0.x) * v
p.y = p0.y + (p1.y - p0.y) * u + (p2.y - p0.y) * v
p.z = p0.z + (p1.z - p0.z) * u + (p2.z - p0.z) * v

---

进一步介绍@Spektre的优秀答案，这就是我实现工作解决方案的方式。我和Unity一起工作，所以我用Ivan Kutskir的很棒来处理矩阵数学。可能有更快/更干净的方法可以做到这一点，但这非常简单，而且工作正常

显然，您必须确保当您放弃Z轴时，不会以退化三角形结束

//tri是一个具有点p0、p1和p2的3D三角形
//点是该三角形内的二维点，假设Z轴被丢弃
/*
相当于@Spektre回答的这一部分：
|u | | |（q1.x-q0.x），（q2.x-q0.x），q0.x | | q.x|
|v |=逆|（q1.y-q0.y），（q2.y-q0.y），q0.y |*| q.y|
| 1 |           |       0       ,       0       ,   1  |   |  1  |
*/
矩阵m1=新矩阵（3，3）；
矩阵m2=新矩阵（3，1）；
m1[0,0]=tri.p1.x-tri.p0.x；
m1[0,1]=tri.p2.x-tri.p0.x；
m1[0,2]=tri.p0.x；
m1[1,0]=tri.p1.y-tri.p0.y；
m1[1,1]=tri.p2.y-tri.p0.y；
m1[1,2]=tri.p0.y；
m1[2,0]=0；
m1[2,1]=0；
m1[2,2]=1；
m2[0,0]=点x；
m2[1,0]=点y；
m2[2,0]=1；
矩阵mResult=m1.Invert（）*m2；
浮点u=（浮点）mResult[0,0]；
float v=（float）mResult[1,0]；
/*
相当于@Spektre回答的这一部分：
p、 x=p0.x+（p1.x-p0.x）*u+（p2.x-p0.x）*v
p、 y=p0.y+（p1.y-p0.y）*u+（p2.y-p0.y）*v
p、 z=p0.z+（p1.z-p0.z）*u+（p2.z-p0.z）*v
*/
float newX=tri.p0.x+（tri.p1.x-tri.p0.x）*u+（tri.p2.x-tri.p0.x）*v；
float newY=tri.p0.y+（tri.p1.y-tri.p0.y）*u+（tri.p2.y-tri.p0.y）*v；
float newZ=tri.p0.z+（tri.p1.z-tri.p0.z）*u+（tri.p2.z-tri.p0.z）*v；
Vector3 newPoint=新Vector3（newX，newY，newZ）；

或者，您可以在不使用矩阵的情况下获得相同的结果（尽管这可能是一种不太可靠的方法，我不确定）。为了计算重心坐标，我使用了，但是这个方法也可以

//tri是一个具有点p0、p1和p2的3D三角形
//点是该三角形内的二维点，假设Z轴被丢弃
//找到所选2D点的重心坐标。。。
浮点数u，v，w=0；
重心2D（点，新矢量2（tri.p0.x，tri.p0.y），新矢量2（tri.p1.x，tri.p1.y），新矢量2（tri.p2.x，tri.p2.y），out u，out v，out w）；
//…然后找出3D中重心坐标的Z值
float newZ=tri.p0.z*u+tri.p1.z*v+tri.p2.z*w；
矢量3新点=新矢量3（点x、点y、新Z）；
// https://gamedev.stackexchange.com/a/63203/48697
空心重心2D（向量2 p、向量2 a、向量2 b、向量2 c、外浮点数u、外浮点数v、外浮点数w）
{
矢量2 v0=b-a；
向量2 v1=c-a；
向量2 v2=p-a；
浮点数=v0.x*v1.y-v1.x*v0.y；
v=（v2.x*v1.y-v1.x*v2.y）/den；
w=（v0.x*v2.y-v2.x*v0.y）/den；
u=1.0f-v-w；
}

原始三角形的平面将有一个类似于

z=a*x+b*y+c的方程。找到这个等式，然后插入
x
和
y
@JohnColeman我不确定你的确切意思。
a
、
b
和
c
是三角形的点吗？我不确定你是不是说，这个方程不知怎么给了我Z值。二维非垂直线的方程可以写成
y=a*x+b
。类似地，三维非垂直平面的方程可以写成
z=a*x+b*y+c
。所讨论的
a、b、c
是标量，可以通过各种方式获得。标准方法是形成向量
PQ
和
PR
的叉积（其中
P，Q，R
是原始三角形中的点）<代码>a、b、c

可以很容易地从该叉积中获得。搜索“通过3点的平面方程”。@JohnColeman老实说，我希望自己能弄清楚的更少。如果我必须自己算出数学题，我会犯错误，浪费时间试图找出我不太懂的东西中的错误。如果我必须用谷歌搜索“方程式（无论什么）”，我就完蛋了，因为我只懂通过代码描述的数学，除非它是简单的代数。我知道这是我教育上的一个失败。当你说“二维非垂直线的方程可以写成y=a*x+b”时，我只能茫然地盯着它看。什么是y？什么是x，a和b？那怎么翻译成代码？也许会有帮助。啊，当然！取二维三角形中该点的重心坐标，并找出具有相同重心坐标的三维三角形上的点。我想用类似的方法，使用平方距离，然后插值Z，但这可能更快。塞巴斯蒂安·拉格对重心库尔有很好的解释