Math 计算点到线段和线段到线段的平均距离

我正在寻找一种算法来计算3D中点和线段之间的平均距离。因此，给定代表线段AB的两个点A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2）以及第三个点C（x3，y3，z3），AB上的每个点到点C的平均距离是多少

我还对两条线段之间的平均距离感兴趣。给定线段AB和CD，AB上的每个点到CD上最近点的平均距离是多少

我在尝试过的网络搜索中没有任何运气，所以如果有任何建议，我将不胜感激

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谢谢。

首先，两点之间的距离是坐标成对差平方和的平方根。 （例如，从（0,0,0）到（1,1,1）的距离为sqrt（3），但这适用于任意数量的标注中的任意点。） 这种距离称为（小写L）或欧几里德范数。 为A点和B点之间的距离编写规范（A，B）

关于平均距离这个有趣的问题。。。 （请注意，查找点到直线或线段之间的最小距离是一个更为常见的问题。这里有一个答案，该问题有很好的指针，但它似乎同时被删除。）

求取C点到线段AB的平均距离，考虑A和B之间的任意点的距离，即（1-K）A+KB，其中k的范围为0至1。 这就是范数（C，（1-k）A+kB）。 所以平均距离是从k=0到范数（C，（1-k）A+kB）的1的积分

Mathematica可以对任何特定的A、B和C进行积分

下面是Mathematica实现：

avgd[A_,B_,C_] :=  Integrate[Sqrt@Dot[(1-k)*A+k*B-C, (1-k)*A+k*B-C], {k, 0, 1}]

被积函数也可以写成

Norm[（1-k）*A+k*B-C]

。无论哪种方式，Mathematica都可以对特定的点进行积分，但不能象征性地对其进行积分，尽管显然大卫是以某种方式让它这样做的。 以下是David评论中的示例：

> avgd[{0, 0, 0}, {4, 0, 0}, {4, 3, 0}] // N

3.73594

对于两条线段之间的平均距离问题，理论上我认为这应该可行：

avgd[A_,B_,C_,D_] := Integrate[Norm[(1-k)A+k*B - (1-j)C - j*D], {k,0,1}, {j,0,1}]

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但是Mathematica似乎对这一点感到窒息，即使是对于特定的点，更不用说象征性的了。

如果你的意思是我认为你所说的“平均”（和“距离”，即德雷夫斯提到的L2范数），那么我认为有一个程序可以用来计算点和线段之间的平均距离。你需要一个函数

dot（a，B）

，它取两个向量的点积

// given vectors (points) A, B, C
K1 = dot(A-C,A-C)
K2 = 2*dot(B-A,A-C)
K3 = dot(B-A,B-A)
L1 = sqrt(K3*(K1+K2+K3))
L2 = sqrt(K3*K1)
N = 4*K3*L1 + 2*K2*(L1-L2) + (K2*K2-4*K1*K3)*log((K2+2*L2)/(2*K3+K2+2*L1))
D = N / (8*K3^1.5)

假设我已经正确地转录了所有内容，

D

将是平均距离

这基本上就是我在Mathematica中所做的计算积分结果的伪代码。可能有一些简洁的计算捷径，但如果有，我不知道。（除非有，否则我会质疑你到底需要做多少计算）

如果您想找到从线段CD上最近的点到AB上所有点的平均距离，在大多数情况下，最近的点将是C或D，因此您可以只检查这两个点，看看哪个更近（可能使用其他答案中引用的一些最小距离计算）。唯一的例外是当CD和AB平行时，您可以从一个垂直运行到另一个垂直运行，在这种情况下，您必须更精确地定义您的需求

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如果你想找到CD上所有点和AB上所有点之间的平均距离。。。它可以用二重积分来完成，尽管我不敢想象得到的公式会有多复杂。

好吧，如果分析失败，那就去找一台电脑，做一些愚蠢的计算，直到你对数字有了感觉

我也有一本Mathematica。为了简单起见，因为三角形必须位于平面内，所以我在二维空间中进行了以下工作。为了使事情更加简单，我在

{0,0}

处指定了一个点，并从

{1,0}

到

{0,1}

指定了一个线段。如果有意义，点到线的平均距离必须是从{0.0}到线段上任何位置的所有线的平均长度。当然，有很多这样的台词，所以让我们从10开始。在Mathematica中，这可以计算为

Mean[Table[EuclideanDistance[{0, 0}, {1 - k, 0 + k}], {k, 0, 1, 10.0^-1}]]]

它给出了

0.830255

。下一步很明显，让我测量的线的数量变大。事实上，当10.0的指数变小时（它们是负数！），让我们做一个平均值表。在数学中：

Table[Mean[Table[EuclideanDistance[{0, 0}, {1 - k, 0 + k}], {k, 0, 1, 
10.0^-i}]], {i, 0, 6}]

产生：

{1, 0.830255, 0.813494, 0.811801, 0.811631, 0.811615, 0.811613}

按照这种方法，我重新设计了@Dave的示例（忘记第三维度）：

其中：

{9/2, 4.36354, 4.34991, 4.34854, 4.34841, 4.34839, 4.34839}

这与@dreeves所说的@Dave的算法计算结果不符

编辑：好的，我在这上面又浪费了一些时间。对于我首先使用的简单示例，即在

{0,0}

处的一个点和从

{0,1}

延伸到

{1,0}

的线段，我在Mathematica中定义了一个函数（一如既往），如下所示：

fun2[k_] := EuclideanDistance[{0, 0}, {0 + k, 1 - k}]

现在，这是可积的。Mathematica给出：

   In[13]:= Integrate[fun2[k], {k, 0, 1}]

   Out[13]= 1/4 (2 + Sqrt[2] ArcSinh[1])

或者，如果您希望有数字，请执行以下操作：

In[14]:= NIntegrate[fun2[k], {k, 0, 1}]
Out[14]= 0.811613

这就是我之前采用的纯数值方法给出的结果

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我现在要继续工作，让大家把它推广到由一个点和一条线段的端点定义的任意三角形。

有趣的方法，你能给我一个解释/证明吗？（我只是好奇）…现在我想起来了，我相信这个公式有问题。考虑<代码> a=（0，0，0）<代码>，<代码> b=（4，0，0）< /代码>，要么<代码> c=（3 99999999，3，0）<代码>或<代码> c=（4，00000000，1，3，0）< /代码>。在前一种情况下，第一个公式（当D位于AB上时）得出的平均距离为3.5，但在第二种情况下，第二个公式得出的距离为4，尽管两者几乎相同。（我自己的分析计算结果是3.7359）只要你在编辑它，我想你不是说

In[14]:= NIntegrate[fun2[k], {k, 0, 1}]
Out[14]= 0.811613