Math 位异或，解方程，布尔逻辑

我有一个等式：

C = A^b + (2*A)^b + (4*A)^b.  

其中C和A已知，但b未知。如何找到b？

---

所有数字都是8位字节。有没有比暴力更快的方法？

符号+是否表示字节加法和*多重处理，溢出位被丢弃？如果是的话，我想答案是

b = C ^ (A + 2 * A + 4* A)

如何得出这一结论：

C = A^b + (2*A)^b + (4*A)^b

因此

然后

编辑以确保：此答案不正确。我真丢脸。我得多考虑一下

我采用相同的假设：

+

和

*

是忽略溢出的加法和乘法

查表 这可能是最快的解决方案：预计算结果，并将其存储在查找表中。它需要216字节的内存，即64 kB

猜测、检查、改进方法 以类C族伪代码表示：

byte Solve(byte a, byte c){
    byte guess = lastGuess = result = lastResult = 0;

    do {
        guess = lastGuess ^ lastResult ^ c;            //see explanation below
        result = a^guess + (2*a)^guess + (4*a)^guess; 
        lastGuess = guess;
        lastResult = result;
    } while (result != c);

    return guess;
}

该算法的思想是，它猜测

b

是什么，然后将其插入公式中以获得一个暂定结果，并将其与

c

进行对比检查。猜测中导致结果与

c

不同的任何位都将更改。这对应于最后一个猜测、最后一个结果和

c

的异或（如果这个语句有点跳跃，我建议您绘制一个真值表，而不仅仅是相信我的话！）

解释 这是因为更改位只会影响该位的结果，以及更重要的位，而不会影响较低的位（因为当您使用笔和纸进行加法时，进位可能会传播到左侧）。因此，在最坏的情况下，算法需要两次猜测以获得最低有效位正确，第二个lsb需要另一次猜测，第三个lsb需要另一次猜测，等等。如果

a

和

c

的任意组合，则最多需要9次猜测

下面是我的测试程序中的跟踪示例：

a: 00001100
c: 01100111

Guess:  01100111
Result: 01000001
Guess:  01000001
Result: 00010111
Guess:  00110001
Result: 01100111

b: 00110001

---

那么“*”应该是什么？整数乘法？第一步是不正确的，XOR不分布在二进制加法上。例如，以A=0x00，C=0x01为例，实际答案是b=0xAB。@DPenner:你说得对。胡扯！我想我已经检查过了，但显然还不够好。

byte Solve(byte a, byte c){
    byte guess = lastGuess = result = lastResult = 0;

    do {
        guess = lastGuess ^ lastResult ^ c;            //see explanation below
        result = a^guess + (2*a)^guess + (4*a)^guess; 
        lastGuess = guess;
        lastResult = result;
    } while (result != c);

    return guess;
}

a: 00001100
c: 01100111

Guess:  01100111
Result: 01000001
Guess:  01000001
Result: 00010111
Guess:  00110001
Result: 01100111

b: 00110001