Math 从运行时确定时间复杂性的最简单方法

假设我正在分析一个算法，我所能做的就是用不同的输入运行它。我可以将一组点（x，y）构造为（样本大小，运行时）。 我想动态地将算法分类为一个复杂度类（线性、二次、指数、对数等） 理想情况下，我可以给出一个或多或少近似于行为的方程式。 我只是不知道最好的方法是什么

对于任何次多项式，我都可以创建回归曲线，并提出一些适合度的度量，但对于任何非多项式函数，我真的不知道该如何做。更难的是，因为我之前不知道我应该试着适合什么形状

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这可能更像是一个数学问题，而不是一个编程问题，但对我来说很有趣。我不是数学家，所以可能有一种更简单的方法，可以从我不知道的一组点得到一个合理的函数。有人对解决这样的问题有什么想法吗？有没有一个C的数字库可以帮助我处理这些数字呢？

曲线拟合曾经是一门艺术，但现在不知何故变得颓废了：）（这对周围的物理学家来说是个笑话）

已经取得了很多进展，这使得普通人能够猜测（一些）非平凡的函数依赖关系

我不会对这些方法和限制进行描述，但我会让你们参考，这是康奈尔大学开发的一款非常好的软件

Eureqa（发音为“eureka”）是一种软件工具，用于检测数据中的方程式和隐藏的数学关系。其目标是确定最简单的数学公式，以描述产生数据的潜在机制。Eureqa可免费下载和使用。查找程序下载、视频教程、用户论坛和其他参考资料。

如果模型不太复杂的话，我试过几次eureqa，结果都很好。我认为它足以区分多项式、对数和指数

嗯

后脚本：

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遗憾的是，软件不再是免费的：（

那么，你真正关心的复杂度类别就不多了，比如：线性、二次、多项式（次数>2）、指数和对数

对于其中的每一个，你可以使用最大的（x，y）对来求解未知变量。让y=f（x）表示算法的运行时间，作为样本大小的函数。让我们假设f（1）=0，如果不是，我们总是可以从每个y中减去该值y（1），这只是消除f（x）中的常数。让y（结束）表示（x，y）数据集中y的最后（和最大）值

在这一点上，我们可以解决每个标准形式中的未知问题：

f(x) = c*x
f(x) = c*x^2
f(x) = x^c
f(x) = c^x
f(x) = log(x)/log(c)

由于每个方程中只有一个未知量，所以我们可以为它求解任何一个点。考虑下面的数据从一个多项式的随机度＞2：< /P>

x = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ];
y = [ 0 6 19 44 81 135 206 297 411 550 ];

如果我们使用最后一个点为每种可能性解c（假设这是最小的噪声估计）

我们现在可以比较这些函数与剩余数据的拟合程度，下面是一个图：

我是新来的，不能发布图片，请看这里的情节：

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真实数据显示在红色星号中，与绿线呈线性，蓝色为二次曲线，黑色为多项式，粉色为指数，绿色为对数图，带有O。从残差中可以清楚地看出，什么函数最适合您的数据。

我认为“从残差中应该很清楚什么函数最适合你的数据”可能不是真的。曲线拟合方法已经发展了200年，可能从Legendre（）开始。即使渐近行为有界于一个小函数集，任何其他函数都可能出现添加，在无穷远处占主导地位（但由于你事先不知道问题的常数，你不知道你离“无限”有多远）为了简单起见，我喜欢这个，尽管我担心精度。我可以使用更多的点来获得多项式>2的更接近近似值，我不太关心提取完美方程，但我希望它相当稳健。CaptnCraig，是的，你可以使用所有的点，对前3个函数进行最小二乘，但其余的都是n太简单了。我试着将其余部分重新格式化为优化，但它们并不都是凸的，也不容易求解，更不用说有一个封闭的形式了。Eureqa看起来很酷。它看起来可以完成我需要的数学类型，但我真的希望我可以在C#应用程序中运行。@CaptnCraig Eureqa有一个开放的API，允许使用eureqa服务器的客户端。请看，我的最终目标是运行一种基本的单元测试，以确保不同大小的输入的代码在一定的时间复杂度内运行。

550 = c*10    -> c = 55
550 = c*10^2  -> c = 5.5
550 = 10^c    -> c = log(550)/log(10) ~= 2.74
550 = c^10    -> c = 550^(1/10) ~= 1.88
550 = log(x)/log(c) -> c = 10^(1/550) ~= 1.0042