Math 基于该点的X、Z计算三维四元平面上三维点的Y

假设我有一个平面3D四边形（a、b、c、d 3D顶点），并且我知道3D点e:e.x和e.z在该四边形的边界内，我将如何计算e.y？我试过几种可能的解决办法，但就是没能奏效

谢谢你的帮助。

平面方程

(a*x)+(b*y)+(c*z)=d;

其中，

n=（a，b，c）

是平面的法向量，因此要构造平面方程，需要

a，b，c，d

常数：

获取正常的

n

两个非平行向量的叉积的结果是向量垂直于每个向量。因此，将四边形的两条边作为向量。生成叉积并将其规格化为单位向量。这就给出了法向量

n

。因此，如果四边形是由顶点

p0、p1、p2、p3定义的，那么

n=cross(p1-p0,p2-p1);
n=n/|n|;

希望你知道向量的叉积和绝对值的公式，如果不知道的话，谷歌。现在，3D矢量
n
的坐标保持
a、b、c
常数

获取

d

常数

只需获取平面上的任意点并导出

d

，例如：

d=(n.x*p0.x)+(n.y*p0.y)+(n.z*p0.z);

或者也可以写为：

d=dot(n,p0);

现在如何从

e.x，e.z

计算

e.y

？

e.y=(d-(n.x*e.x)-(n.z*e.z))/n.y;

仅当

n.y

为非零时，此选项才有效。如果它确实为零，那么你必须使用基向量而不是平面方程

(a*x)+(b*y)+(c*z)=d;

基向量

（n.y==0）

所以计算基向量

bu=p1-p0;
bv=p3-p0;

现在，平面上的任何点定义为：

p=p0+(bu*u)+(bv*v);

其中，

u，v

为标量（表示单个数字而非矢量）平面坐标，

bu，bv

为基本矢量。现在您需要计算

x，z

坐标和

u，v

的相关性，我们现在：

• p0

  is

  u=0，v=0

• p1

  是

  u=1，v=0

• p3

  是

  u=0，v=1

我们需要这样的方程：

u=u0+(ux*x)+(uz*z);
v=v0+(vx*x)+(vz*z);

因此，我们需要计算常数：

u0，ux，uy，v0，vx，vy

因此，将导致以下结果的3个点进行替换：

0=u0+(ux*p0.x)+(uz*p0.z);
0=v0+(vx*p0.x)+(vz*p0.z);
1=u0+(ux*p1.x)+(uz*p1.z);
0=v0+(vx*p1.x)+(vz*p1.z);
0=u0+(ux*p3.x)+(uz*p3.z);
1=v0+(vx*p3.x)+(vz*p3.z);

解决这个系统，这就是你所需要的。现在为点

e

计算

u，v

，然后从

u，v

[notes]

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Bullet#4适用于所有非平凡的四边形，不仅仅适用于

n.y==0

case

你试过得到平面的方程了吗？我没有很强的数学背景，所以我不确定如何做到这一点….（目前）。是的，我的库中既有CrossProduct（）函数，也有Dot（）函数。我在第4项中使用了你建议的基向量。非常感谢您以有效简洁的方式将其详细阐述。