Math 计算任意频率下的傅里叶变换

我知道如果我们有一些数据代表一些波，例如图像线值， 我们可以用傅里叶变换得到那个波的频率函数。 但我们在x=0…N-1点有N个值 我们在输出端只得到N个频率。 所以我想分析[0，N-1]范围内的所有波 例如，在点u=1.5处。

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我该怎么做呢？

我已经10多年没有做过这些了，但我认为Matlab有一些FT方法可以让你做你想做的事情。至少这是我们在线性信号和DSP类中使用的，您需要为这些中间点计算数据。

从一组样本中计算任何频率的傅里叶变换值实际上非常简单：

F(w)= sum[over all sample indices k] ( f(t_k) e^(i w t_k) )

代码方面，您可以执行以下操作：

float Fourier(float omega) {
  Complex a(0.0); // think "a is for accumulator"
  for(int k=0; k<value.size(); ++k) {
    float time= t_start + k*dt;
    float theta= omega * time;  // this is (w t_k) from above
    a+= value[k] * Complex(cos(theta), sin(theta));
  }
  return a;
} // note, I have explicitly written out e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta)

float Fourier（浮点ω）{
复数a（0.0）；//认为“a代表累加器”
对于（int k=0；kYou应该在mathoverflow.com上问这个问题。谢谢！我现在就试试！mathoverflow上的常见问题解答很清楚，这对该论坛来说不是一个好问题。似乎程序员想问的任何数学问题都没有家。那么你的意思是我在那里得到了相同的答案？）它实际上与编程无关，只要我们不谈论实现和快速算法。但它在信号分析中很有用，这就是为什么我问这个问题的原因，但我也在想，在这里问这个问题是否足够好，如果知道它们，我希望用C语言实现它们。你想实现它吗hem是为了你自己的利益，还是因为你需要使用它们？CI中有一个FTs库需要它。不是为了我自己的利益。谢谢！这是我一开始想的。但是有没有其他方法解决这个问题？根本没有。当然，你可以改变主意，决定不在中间点分析数据，在这种情况下，你不需要插值。你必须插值-但结果只是一个“有根据的猜测”。为了在频域中获得更好的结果，你还需要在时域中获得更多的样本。@peterchen：当然可以。不用说，插值不能神奇地创造出以前不存在的数据。对不起，我不明白。我们有函数f（t），我们知道它在点t=0..N-1.x_k=f（t_k）的值，其中t_k=k，我们有一个离散傅里叶变换：X_k=sum[在所有样本指数n上]（X_n*e^（-（k*n）*i*2Pi/n））从这个方程中我们可以看到，只有N个FT点：X_k，k=0..N-1我想你写了一个关于连续情况的方程。或者可能是我不明白什么？我写了一个关于连续频率的方程——我想这就是你想要的。输入样本是离散的并不重要；从数学上来说，你把它们当作脉冲，将其插入方程，然后计算结果。如果样本是规则间隔的，上述公式和计算会在FFT计算的频率之间提供完美的自然插值。有趣的是…我会检查它！感谢您的想法）不同之处在于您建议的规则间隔频率（由FFT计算的）适用于重复采样——就好像将采样包装到无限重复的循环中一样。这对于任意/连续频率没有意义；在这种情况下，最好将（有限）采样集视为唯一的事件——孤立的或（等价的）被无限的零样本海洋包围。。。