Math 如何描述Coq中的一对多关系？

我正在读B.Russell的《数学哲学导论》一书，试图将书中描述的所有定理形式化

下文（）描述了一种或多种关系

一对多关系可以定义为这样的关系，如果x具有 关于y，没有其他术语x'也具有 与y的关系

或者，它们可以定义如下：给定 两个术语x和x'，x与之具有给定关系的术语，以及 那些与x'有联系的人没有共同的成员

或者，再一次，他们可能 定义为其中一个的相对乘积 反之则意味着同一性，即两者的“相对乘积” 关系R和S是当 有一个中间项y，使得x与R和y有关系 y与S和z有关系

它提出了三种定义方式。我已经成功地描述了前两个，并证明了它们的等价性。当我陷入第三个问题时，我试图摆脱“相对产品”的概念，直接触及其内涵，但也失败了

下面是我的定义，我有没有犯错误

Definition one_many {X} (R : relation X) : Prop :=
  forall x y, R x y -> forall x', x <> x' -> ~(R x' y).

Definition one_many' {X} (R : relation X) : Prop :=
  forall x x' y, R x y -> R x' y -> x = x'.

Inductive relative_product
          {X} (R: relation X) (S: relation X) : relation X :=
  | rp0 : forall x y, forall z, R x y -> S y z -> relative_product R S x z.
Inductive converse {X} (R : relation X) : relation X :=
  | cv0 : forall x y, R x y -> converse R y x.
Inductive id {X} : relation X :=
  | id0 : forall x, id x x.

Definition one_many'' {X} (R : relation X) : Prop :=
  forall x y, relative_product R (converse R) x y <-> id x y.

definitionone\u many{X}（R:relationx:Prop:=
对于所有x y，R x y->对于所有x'，x x'->~（R x'y）。
定义一个或多个{X}（R:关系X）：属性：=
对于所有x'y，R x y->R x'y->x=x'。
归纳相对积
{十} （R:关系X）（S:关系X）：关系X：=
|rp0:forall x y，forall z，R x y->S y z->相对乘积R S x z。
归纳逆{X}（R:关系X）：关系X:=
|cv0:FORALLXY，RXY->逆向RYX。
归纳id{X}：关系X:=
|id0:forall x，id x。
定义一个或多个“{X}（R:关系X）：属性：=
对于所有xy，相对乘积R（逆R）xy id x y。

下面是我如何解释第三个的定义，我也没有证明它们的等价性

Goal forall {X} (R : relation X),
    one_many'' R <-> (forall x y, R x y -> forall x', converse R y x' -> x = x').
Proof.
  intros. unfold one_many''. split.

  intros.
  assert (relative_product R (converse R) x x' <-> id x x'). apply H.
  inversion H2. apply id_eqv. apply H3.
  apply rp0 with y. assumption. assumption.

  intros.
  split. intro.
  inversion H0. subst.
  apply id_eqv. apply H with y0.
  assumption. assumption.

   (* I'm stuck here. This subgoal is obviously not provable. *)

所有{X}（R:relationx）的目标，
一个或多个“R”（对于所有x y，R x y->对于所有x'，逆R y x'->x=x'）。
证明。
介绍。展开一个或多个“”。分裂
介绍。
断言（相对乘积R（逆R）x x'id x'）。应用H。
反转H2。应用id_eqv。应用H3。
用y应用rp0。假设。假设。
介绍。
分裂简介。
反转H0。替代品。
应用id_eqv。用y0涂抹H。
假设。假设。
（*我被困在这里。这个子目标显然是不可证明的。*）

其中，

id\u eqv

是

引理id\u eqv:forall{X}（X:X）（y:X），X=y id X y

，很容易提前证明

---

有人能帮我找出或给我一个关于我哪里出错的提示吗？提前感谢。

胡乱猜测，但您可能需要

R

自反或不为空。用你的剧本我最终不得不证明

1 subgoal
X : Type
R : relation X
H : forall x y : X, R x y -> forall x' : X, converse R y x' -> x = x'
y : X
______________________________________(1/1)
relative_product R (converse R) y y

---

所以你有一个关系

R

，和一个居住者

y:X

。为了证明你的目标，你需要有一个证人

z

，这样

ryz

和

rzy

。在没有任何其他信息的情况下，我想你唯一的办法就是让

R

具有自反性和

z

be

y

我认为你误译了第三个定义。原文说：

或者，它们也可以被定义为这样的关系，即其中一个的相对乘积及其逆意味着同一性

（我的重点）。这将转化为：

forall x y, relative_product R (converse R) x y -> id x y

---

也就是说，它应该是一个直接的含义，而不是你所断言的等价物。你不能希望从其他任何一个来证明你的第三个陈述，因为它不是等价的：考虑一个非空集合上的空关系。这当然是一对多关系，但与其相反的相对乘积也是空的，因此不是完全标识关系。

如何定义

关系

？你能分享你其余的定义吗？sinan:关系直接取自标准库关系，即

定义关系（X:Type）：=X->X->Prop

。

id\u eqv

是否也在stdlib中定义？我很难找到所需的定义。西南：对不起，我错过了。我证明了我自己

引理id_eqv:forall{X}（X:X）（y:X），X=yidxy

。在逆向关系的定义中，你需要

rxy逆向ryx

，还是在给定该定义的情况下，很容易证明

逆向ryx->rxy

？