Math 标量三重积与确定性

当我今天试图解决一个问题时，我注意到了一些事情。标量三重积与行列式或三乘三矩阵相同，三个向量为行：

A=[A，b，c]

det（A）=（AXb）*c

我在Real Timer渲染中遇到了这一点，但我无法真正理解这是为什么，或者它是否有用。这似乎有点像是用一个确定式来计算叉积的捷径方法，在这里你沿着矩阵的顶部写单位向量，但我一直认为这更像是一个助记符，实际上不是一个合理的数学

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这里有真实的关系吗，或者这只是某种幸福的巧合吗？

根本不是巧合；这是一个相当标准的结果。请注意，叉积a X b通常以行列式形式写入，顶行为单位向量i j k，下一行为a1 a2 a3，底行为b1 b2 b3

|i  j   k|
|a1 a2 a3|
|b1 b2 b3|

现在把它的点积和另一个向量c，得到的结果和你在第一行写的c是一样的

|i  j   k|                      |c1 c2 c3|     |c1 c2 c3|    |a1 a2 a3|
|a1 a2 a3| .  (c1,c2,c3)  =     |a1 a2 a3|  = -|a1 a2 a3|  = |b1 b2 b3|
|b1 b2 b3|                      |b1 b2 b3|     |b1 b2 b3|    |c1 c2 c3|

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编辑：也就是说它等价于矩阵的行列式，使用向量作为行或列。Q.E.D.

对于一个符号，n×n矩阵的行列式是由其n维行（或列）向量（或单位立方体的体积）跨越的平行六面体的体积

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由该矩阵线性变换）。（axb）.c产品在三个维度上完全相同；axb给出了一个垂直于a和b的向量，其长度等于a和b跨越的平行四边形的面积；c给出了平行四边形上c的高度乘以其面积。所以，不，这不是巧合。

我注意到了这一点，但我一直认为在矩阵中混合向量值和标量值是不好的。是的，我不认为这是严格正确的，但在我见过的每本线性代数教科书中都是这样写的。真的，这只是语法上的糖。我们也可以通过扩展所有的东西来展示它，但那会有点混乱。即使你可以，它也不能真正解释这种联系-我从来没有见过使用叉积的确定形式的证明。我见过的证明总是从I，j，k的定义开始。是的，我也经常看到，但是在一个不使用这种形式的证明之后。总是哦，是的，你可以这样做来记住它。