Python 渐近函数逼近零的浮点问题

来自MATLAB的python新手

我使用的是震级尺度函数的双曲正切截断。 在将

0.5*math.tanh（r/rE-r0）+0.5

函数应用于范围值数组

r=np.arange（0.1100.01,0.01）

时，我遇到了问题。我为接近零的一侧的函数获得了几个

0.0

值，这在我执行对数时会导致域问题：

P1 = [ (0.5*m.tanh(x / rE + r0 ) + 0.5) for x in r] # truncation function

我使用以下方法：

P1 = [ -m.log10(x) if x!=0.0 else np.inf for x in P1 ]

这对我所做的足够了，不过是一种创可贴解决方案。 根据数学明确性的要求：

在天文学中，震级的工作原理大致如下：

mu = -2.5log(flux) + mzp # apparent magnitude

其中mzp是每秒可以看到1个光子的量级。因此，更大的通量等于更小（或更负）的视震级。我正在为使用多个组件函数的源创建模型。例如，两个sersic函数具有不同的sersic索引，内部组件上有

P1

外部截断，外部组件上有

1-P1

内部截断。这样，当向每个分量添加截断函数时，由半径定义的幅值将变得非常大，因为当

P1

渐近接近零时，mu1-2.5*log（

P1

）变得非常小

TLDR：我想知道的是，是否有一种方法可以保存精度不足以与零区分的浮点（特别是在渐近接近零的函数的结果中）。这一点很重要，因为当取这些数字的对数时，结果是域错误

非对数P1中的输出开始读取零之前的最后一个数字是

5.551115123125783e-17

，这是一个常见的浮点算术舍入误差结果，其中所需结果应为零

如有任何意见，将不胜感激

@用户：丹 没有把我的整个剧本：

xc1,yc1 = 103.5150,102.5461;
Ee1 = 23.6781;
re1 = 10.0728*0.187;
n1 = 4.0234;
# radial brightness profile (magnitudes -- really surface brightness but fine in ex.)
mu1 = [ Ee1 + 2.5/m.log(10)*bn(n1)*((x/re1)**(1.0/n1) - 1) for x in r];

# outer truncation
rb1 = 8.0121
drs1 = 11.4792

P1 = [ (0.5*m.tanh( (2.0 - B(rb1,drs1) ) * x / rb1 + B(rb1,drs1) ) + 0.5) for x in r]

P1 = [ -2.5*m.log10(x) if x!=0.0 else np.inf for x in P1 ] # band-aid for problem

mu1t = [x+y for x,y in zip(P1,mu1)] # m1 truncated by P1 

式中，bn（n1）=7.72和B（rb1，drs1）=2.65-4.98*（r_b1/（-drs1））

mu1是要截断的分量的幅值剖面。P1是截断函数。P1的许多最终条目为零，这是因为由于浮点精度，浮点与零没有区别

查看问题的简单方法：

>>> r = np.arange(0,101,1)
>>> P1 = [0.5*m.tanh(-x)+0.5 for x in r]
>>> P1
[0.5, 0.11920292202211757, 0.01798620996209155, 0.002472623156634768, 0.000335350130466483, 4.539786870244589e-05, 6.144174602207286e-06, 8.315280276560699e-07, 1.1253516207787584e-07, 1.5229979499764568e-08, 2.0611536366565986e-09, 2.789468100949932e-10, 3.775135759553905e-11, 5.109079825871277e-12, 6.914468997365475e-13, 9.35918009759007e-14, 1.2656542480726785e-14, 1.7208456881689926e-15, 2.220446049250313e-16, 5.551115123125783e-17, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]

---

还要注意零之前的浮点数。

回想一下，双曲正切可以表示为（1-e^{-2x}）/（1+e^{-2x}）。通过一点代数，我们可以得到0.5*tanh（x）-0.5（函数的负数）等于e^{-2x}/（1+e^{-2x}）。它的对数将是

-2*x-log（1+exp（-2*x））

，这将在任何地方都有效且稳定

也就是说，我建议您更换：

P1 = [ (0.5*m.tanh( (2.0 - B(rb1,drs1) ) * x / rb1 + B(rb1,drs1) ) + 0.5) for x in r]

P1 = [ -2.5*m.log10(x) if x!=0.0 else np.inf for x in P1 ] # band-aid for problem

使用这种更简单、更稳定的方法：

r = np.arange(0.1,100.01,0.01)
#r and xvals are numpy arrays, so numpy functions can be applied in one step
xvals=(2.0 - B(rb1,drs1) ) * r / rb1 + B(rb1,drs1)
P1=2*xvals+np.log1p(np.exp(-2*xvals))

---

有两件事你可以试试

（1） 蛮力方法：找到一个可变精度浮点运算包，并使用它代替内置的固定精度。我正在处理Maxima[1]中的问题，我发现为了避免下溢，我必须大大提高浮点精度，但这是可能的。如果你愿意，我可以发布Maxima代码。我可以想象有一些适合Python的变量精度浮点库

（2） 用泰勒级数或其他近似方法近似对数（（1/2）（1+tanh（-x）），以避免完全使用对数（tanh（…）

---

[1]

@GreenAsJade的建议无法解决这个问题。它甚至可能会使问题复杂化。NumPy不是计算机代数系统，喜欢固定精度的数字。@GreenAsJade:他似乎已经在使用NumPy了，带有

np.arange（）

。是的，我看过numpy。你是否建议我使用numpy作为math.tanh的替代品？例如，np.tanh？我看过。它给出了相同的结果。你到底想做什么？一种更干净的方法来处理浮点精度不足以区分0.0的情况？还有，你的确切意思是什么“微弱”数字和“震级标度”"？在计算这些数字之后，你能在数学上更明确地说明你对这些数字到底做了什么吗？可能有一个更稳定的数学解决方案，我们看不到，因为我们不知道这些数字的含义或它们的用途。确切地说。我正在寻找一种方法来区分那些浮点数g点精度不足以区分零。为了清晰起见，我将编辑OP。谢谢。对不起，我现在可能对所有编辑都不清楚。您可能已经注意到，我正在查看的函数更像0.5*m.tanh（-x）+0.5（正如我上次编辑时给出的）。问题是，随着x变大，函数趋于零，数字实际上开始读取零。当我想用对数将其添加到震级标度中时，这是不好的。在~1e-17之后，只有零浮点数。我如何在这里获得非零数字（不管有效数字有多小，我只需要为对数定义指数）@user3208266:啊！对不起，在你上次编辑之前我写了大部分内容。请给我一点时间，我会将其修复为渐进大值，而不是渐进小值。我指的是上述函数中的大值

x

。@user3208266:好的，它现在是为大x值设计的。我建议使用

log1p（…）

而不是

log(1 + ...)

。我不认为在这种情况下会有太大的不同，但一般来说，当

…

较小时会更安全。我从未听说过Maxima，谢谢你的链接。我将继续更严格地寻找Python中的可变精度浮点库。我推荐用于Python的gmpy2：它为va包装了GNU的MPFR库变量精度（二进制）浮点。