Python Numpy似乎产生了不正确的特征向量

我想用Numpy来计算特征值和特征向量。这是我的密码：

import numpy as np
from numpy import linalg as LA

lapl = np.array(
       [[ 2, -1, -1,  0,  0,  0],
        [-1,  3,  0, -1,  0, -1],
        [-1,  0,  2, -1,  0,  0],
        [ 0, -1, -1,  3, -1,  0],
        [ 0,  0,  0, -1,  2, -1],
        [ 0, -1,  0,  0, -1,  2]])

w, v = LA.eigh(lapl)

print ('Eigenvalues:', np.round(w,0))
print ('Eigenvectors:', np.round(v,2))

结果如下：

Eigenvalues: [ 0.  1.  2.  3.  3.  5.]
Eigenvectors: [[ 0.41  0.5   0.41 -0.46  0.34  0.29]
               [ 0.41  0.    0.41  0.53  0.23 -0.58]
               [ 0.41  0.5  -0.41 -0.07 -0.57 -0.29]
               [ 0.41  0.   -0.41  0.53  0.23  0.58]
               [ 0.41 -0.5  -0.41 -0.46  0.34 -0.29]
               [ 0.41 -0.5   0.41 -0.07 -0.57  0.29]]

然而，当我在Wolfram Alpha中运行相同的矩阵时，我得到了不同的结果-特征值相同，但特征向量不同：

v1 = ( 1, -2, -1,  2, -1,  1)
v2 = ( 0, -1,  1, -1,  0,  1)
v3 = ( 1, -1,  0, -1,  1,  0)
v4 = ( 1,  1, -1, -1, -1,  1)
v5 = (-1,  0, -1,  0,  1,  1)
v6 = ( 1,  1,  1,  1,  1,  1)

以下是Wolfram Alpha计算的链接：

为什么我会得到不同的结果？我应该在Python中做什么才能得到与Alpha相同的结果

---

非常感谢你的帮助

由于多种原因，结果不同：

您可能注意到，当您将Wolfram结果

v1

打印到

v6

时，numpy矩阵

v

包含水平堆叠的列的特征向量

特征向量的尺度（或长度）未定义。所以它通常被缩放到长度1。Wolfram结果的缩放方式不同，我想这会引起一些混乱

请注意，通过缩放向量，即使是符号也可以更改。这就是为什么积极和消极的因素可能会被翻转

最后但并非最不重要的一点是：特征向量的阶数是未定义的，只要它们的阶数与其对应的特征值相同。因此，您还需要查看Wolfram的特征值，并可能相应地将

v1

重新排序为

v6

。（按特征值大小排序是一种常见的惯例。Wolfram似乎按降序排序，而numpy则按升序排序。）

如果矩阵具有非唯一特征值，则相应的特征向量可以任意旋转，只要它们跨越相应的子空间。然而，在您的示例中，情况似乎并非如此

---

考虑到前4个问题，结果实际上非常接近。奇异性不重要，因为只有一个零特征值，因此相应的特征向量是唯一的（直到符号和长度）。

由于多种原因，结果不同：

您可能注意到，当您将Wolfram结果

v1

打印到

v6

时，numpy矩阵

v

包含水平堆叠的列的特征向量

特征向量的尺度（或长度）未定义。所以它通常被缩放到长度1。Wolfram结果的缩放方式不同，我想这会引起一些混乱

请注意，通过缩放向量，即使是符号也可以更改。这就是为什么积极和消极的因素可能会被翻转

最后但并非最不重要的一点是：特征向量的阶数是未定义的，只要它们的阶数与其对应的特征值相同。因此，您还需要查看Wolfram的特征值，并可能相应地将

v1

重新排序为

v6

。（按特征值大小排序是一种常见的惯例。Wolfram似乎按降序排序，而numpy则按升序排序。）

如果矩阵具有非唯一特征值，则相应的特征向量可以任意旋转，只要它们跨越相应的子空间。然而，在您的示例中，情况似乎并非如此

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考虑到前4个问题，结果实际上非常接近。奇异性不重要，因为只有一个零特征值，因此相应的特征向量是唯一的（直到符号和长度）。

谢谢。可能缩放是这里的问题。我想知道在Numpy中是否有任何简单的方法来缩放向量，使它们看起来与Alpha输出类似。@AlekseyLinetskiy:我在Wolfram的缩放中没有看到模式。如果可能的话，选择它可能是为了避免分数。但是如果你强迫它，例如用“2.01”替换“2”，数字就会接近你的。我认为你不能通过缩放来改变符号，特征向量表示一个特定的方向，这就是为什么我们可以缩放它，因为方向不会改变。但是一旦你改变了符号，方向就会翻转，这就违背了获得特征向量的目的。谢谢。可能缩放是这里的问题。我想知道在Numpy中是否有任何简单的方法来缩放向量，使它们看起来与Alpha输出类似。@AlekseyLinetskiy:我在Wolfram的缩放中没有看到模式。如果可能的话，选择它可能是为了避免分数。但是如果你强迫它，例如用“2.01”替换“2”，数字就会接近你的。我认为你不能通过缩放来改变符号，特征向量表示一个特定的方向，这就是为什么我们可以缩放它，因为方向不会改变。但是一旦你改变了符号，方向就会翻转，这就违背了获得特征向量的目的。