Python 2个递归调用的大θ界

给定

f（x，y）

和

g（n）

：

定义f（x，y）： 如果x<1或y<1： 返回1 返回f（x-1，y-1）+f（x-1，y-1） def g（n）： 返回f（n，n）

g（n）

的大θ界是什么

我推断，由于x==y，

f（x，y）

中的条件永远不会为真，因此2个递归调用将决定复杂性

仅考虑

f（x-1，y-1）

：需要n个递归调用才能到达基本情况，每个调用分支到另一个

f（x-1，y-1）

。在这一点上，我不知道如何继续

---

（答案是Θ（2n）。

解决此问题的一种方法是为问题编写一个递归关系。如果您注意到，f的参数总是彼此相等（您可以看到这一点，因为它们在对g（n）的调用中开始相同，并且在这一点上总是相等的）。因此，我们可以编写一个递归关系T（n），确定f（n，n）的运行时间

那么T（n）是什么呢？作为一个基本情况，T（0）应该是1，因为一旦n降到0，函数就会做恒定的功。否则，该函数将执行常量工作，然后对大小为n-1的问题进行两次递归调用。因此，我们得到了这个循环：

T（0）=1

T（n+1）=2T（n）+1

从复发的条件来看，我们看到了一种模式：

• T（0）=1
• T（1）=3
• T（2）=7
• T（3）=15
• T（4）=31
• T（n）=2n+1-1

如果您愿意，可以使用归纳法正式证明这一点。因为T（n）由2n+1-1给出，所以运行时是Θ（2n）

---

希望这有帮助

解决此问题的一种方法是为问题编写一个递归关系。如果您注意到，f的参数总是彼此相等（您可以看到这一点，因为它们在对g（n）的调用中开始相同，并且在这一点上总是相等的）。因此，我们可以编写一个递归关系T（n），确定f（n，n）的运行时间

那么T（n）是什么呢？作为一个基本情况，T（0）应该是1，因为一旦n降到0，函数就会做恒定的功。否则，该函数将执行常量工作，然后对大小为n-1的问题进行两次递归调用。因此，我们得到了这个循环：

T（0）=1

T（n+1）=2T（n）+1

从复发的条件来看，我们看到了一种模式：

• T（0）=1
• T（1）=3
• T（2）=7
• T（3）=15
• T（4）=31
• T（n）=2n+1-1

如果您愿意，可以使用归纳法正式证明这一点。因为T（n）由2n+1-1给出，所以运行时是Θ（2n）

希望这有帮助

def f(x, y):
    if x < 1 or y < 1:
        return 1
    return f(x - 1, y - 1) + f(x - 1, y - 1)

def g(n):
    return f(n, n)