用python求复杂函数的导数

我想推导一个相当复杂的扩散关系。 以下是色散关系的代码：

import numpy as np
import pylab as pl

#function definitions. compare following paper eqs. (60) and (61)
#"Hamiltionian formalism for two magnon scattering microwave relaxation:
#Theory and applications"
#Krivosik, Kalarickal, Patton
#JAP 101, 083901 (2007)

def omega(gamma,Bx,By): #resonance frequency
    return gamma*sqrt(Bx*By)

def Bx(B,A,k,mu_0,Ms,Nk): #magnetic field in x-direction
    return B+(2*A/Ms)*k**2+mu_0*Ms*Nk

def By(B,A,k,mu_0,Ms,phi,Nk): #magnetic field in y-direction
    return B+(2*A/Ms)*k**2+mu_0*Ms*(sin(phi)**2)*(1-Nk)

def k(kx,n,w): #k-vektor of spin wave
    return sqrt(kx**2+(n*pi/w)**2)

def Nk(k,d): #Dipole field function
    return (1-exp(-k*d))/(k*d)

def phi(kx,n,w): #angle between k vector and magnetization which points along x-axis
    return arctan(n*pi/(w*kx))

#constants and parameters
gamma=28 #GHz/T
mu_0=4*pi*1e-7 #As/Vm

#range of k-vectors
kx=linspace(0,25000000,1000)

#sample parameters
A=3.5e-12 #J/m
Ms=140000 #A/m
B=0.05 #mT
w=2e-6 #m
d=100e-9 #m

fig=pl.figure(num=None, figsize=(10, 6.25), dpi=80, facecolor='w', edgecolor='k')
font = {'weight' : 'normal', 'size'   : 13}
matplotlib.rc('font', **font)

n=1
plot(kx/1e6, omega(gamma,Bx(B,A,k(kx,n,w),mu_0,Ms,Nk(k(kx,n,w),d)),By(B,A,k(kx,n,w),mu_0,Ms,phi(kx,n,w),Nk(k(kx,n,w),d))), 'k-')

现在我想推导这个函数，因为函数的斜率对我来说至关重要

有没有更简单的方法来定义函数

对于导数，我需要计算d_ω/d_kx。我不需要解析表达式！你推荐哪条路

我应该只取ω的值并手动计算吗

（ω（n+1）-ω（n））/（kx（n+1）-kx（n））

还是有更优雅的方式

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您可以使用函数梯度，它是在numpy中实现的

使用内部的中心差和边界处的第一个差计算渐变。因此，返回的梯度与输入数组具有相同的形状

这就是如何使用它来绘制导数，只需复制您的示例

plot(kx/1e6, gradient(omega(gamma,Bx(B,A,k(kx,n,w),mu_0,Ms,Nk(k(kx,n,w),d)),By(B,A,k(kx,n,w),mu_0,Ms,phi(kx,n,w),Nk(k(kx,n,w),d)))), 'k-')

希望有帮助。

您可以依赖scipy实用程序函数，该函数允许同时使用离散化

dx

的大小和有限差分格式的顺序（默认设置为

3

）。这是一个例子：

from scipy.misc import derivative
f=lambda kx : omega(gamma,Bx(B,A,k(kx,n,w),mu_0,Ms,Nk(k(kx,n,w),d)),By(B,A,k(kx,n,w),mu_0,Ms,phi(kx,n,w),Nk(k(kx,n,w),d)))
df = derivative(f,kx,dx=kx[1]-kx[0])
fig,ax=plt.subplots()
ax.plot(kx/1e6,f(kx),'b')
bx=ax.twinx()
bx.plot(kx/1e6,df,'r')
bx.grid()

---

我找到了解决问题的办法

#Definitions from above
dispersion =lambda n : omega(gamma,Bx(B,A,k(kx,n,w),mu_0,Ms,Nk(k(kx,n,w),d)),By(B,A,k(kx,n,w),mu_0,Ms,phi(kx,n,w),Nk(k(kx,n,w),d)))
derivative=diff(dispersion(n))/diff(kx)

---

有多种方法：

数值近似（如上所列）。

• ，（刚刚更新到版本0.5）这使用有限差分方法，但跟踪数值误差估计，从而给出可靠的结果，即自动考虑网格大小

。

• ，（刚刚更新到0.5版）
• ，非常优雅的代码，感谢Theano和decorators
• 有一个python包装器

符号导数。

• ，经典的python符号派生模块
• ，一个类似iPython的环境，用于替代Mathematica，它构建在python上

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2和3都比数值导数更精确，因为为了保持精度，需要在非常精细的网格上对方程进行采样。

如果使用numpy 1.9（当前的开发版本）梯度函数在边界上也使用二阶精度差分，因此在整个导数上保持精度：）这是一个很好的改进！；）这个函数似乎没有提供正确的值。可能是因为梯度函数不知道我的kx值。gradient（）强烈地依赖于点的数量。这是正确的，但您也可以将差异作为参数包含到gradient函数中。梯度（func[1:]，diff（func））。在这种情况下，结果与您在下面的帖子中实现的结果类似，但边缘的值可能是错误的。如果您使用具有多个维度的数组，这将非常方便。这似乎不起作用。函数对kx=0的导数为0，noch为3.1？来自的渐变工具提供了正确的结果。您可能不需要导数的符号表达式，但数值微分容易出错，因此我的建议是构造一个符号表达式（例如，通过Sympy）并对其进行计算。numdifftools是数值近似，而不是自动微分。