Python 高达400万的偶数斐波那契数之和

我用来尝试解决这个问题的方法是可行的，但我认为它不是很有效，因为只要我输入一个太大的数字，它就不起作用了

def fib_even(n):
    fib_even = []
    a, b = 0, 1
    for i in range(0,n):
        c = a+b
        if c%2 == 0:
            fib_even.append(c)
            a, b = b, a+b
return fib_even

def sum_fib_even(n):
    fib_evens = fib_even(n)
    s = 0
    for i in fib_evens:
        s = s+i
    return s

n = 4000000
answer = sum_fib_even(n)
print answer

---

例如，这不适用于4000000，但适用于400。有更有效的方法吗？

不必存储所有中间斐波那契数，可能存储会导致性能问题。

不必存储所有中间斐波那契数，可能存储导致性能问题。

不必存储所有中间Fibonacci数，可能存储导致性能问题。

不必存储所有中间Fibonacci数，存储可能会导致性能问题。

不必计算所有斐波那契数

注意：对于斐波那契序列，我在后面使用更标准的初始值F[0]=0，F[1]=1。项目Euler#2以F[2]=1，F[3]=2，F[4]=3，…，开始其序列，。。。。对于这个问题，两种选择的结果都是一样的

所有斐波那契数之和（作为热身） 递推方程

F[n+1] = F[n] + F[n-1]

也可以理解为

F[n-1] = F[n+1] - F[n]

或

从1到n（记住F[0]=0，F[1]=1）求和，左边是斐波那契数的和，右边是所有内部项都相消的伸缩和

sum(n=1 to N) F[n] = (F[3]-F[2]) + (F[4]-F[3]) + (F[5]-F[4])
                     + ... + (F[N+2]-F[N+1])
                   = F[N+2] - F[2] 

所以对于使用问题N=4000000的和，我们只需要计算一下

F[4,000,002] - 1

使用计算单个斐波那契数的超快速方法之一。减半和平方，相当于迭代矩阵的指数化，或基于黄金比率的指数公式（以必要的精度计算）

由于大约每20个斐波那契数，您将获得4个额外的数字，因此最终结果将由大约800000个数字组成。最好使用能够包含所有这些内容的数据类型

---

偶数斐波那契数的求和 只要检查前10或20个斐波那契数，就会发现所有偶数成员的指数都是3*k。通过减去两个连续递归进行检查，得到

F[n+3]=2*F[n+2]-F[n]

所以F[n+3]总是具有与F[n]相同的奇偶性。投入更多的计算，我们会发现成员之间有三个指数的递归

F[n+3] = 4*F[n] + F[n-3]

背景

S = sum(k=1 to K) F[3*k]

对n=3*k的递归求和得到

F[3*K+3]+S-F[3] = 4*S + (-F[3*K]+S+F[0])

或

因此，所需的总和具有以下公式

S = (F[3*K+2]-1)/2

黄金分割公式的快速计算揭示了N应该是什么，使得F[N]刚好低于边界，因此K=N div 3应该是什么

N = Floor(  log( sqrt(5)*Max )/log( 0.5*(1+sqrt(5)) )  )

---

欧拉问题的简化公式 在原始问题中，我们发现N=33，因此总和为

S = (F[35]-1)/2;

(F[1,333,335]-1)/2

---

减少问题中的问题及其后果 以问题中的错误表示问题为例，N=4000000，因此K=133333，总和为

S = (F[35]-1)/2;

(F[1,333,335]-1)/2

它仍然有大约533400个数字。是的，biginteger类型可以处理这样的数字，用它们计算只需要时间

---

如果以60行80位的格式打印，这个数字将填充112张纸，只是为了了解输出的内容。

不必计算所有斐波那契数字

注意：对于斐波那契序列，我在后面使用更标准的初始值F[0]=0，F[1]=1。项目Euler#2以F[2]=1，F[3]=2，F[4]=3，…，开始其序列，。。。。对于这个问题，两种选择的结果都是一样的

所有斐波那契数之和（作为热身） 递推方程

F[n+1] = F[n] + F[n-1]

也可以理解为

F[n-1] = F[n+1] - F[n]

或

从1到n（记住F[0]=0，F[1]=1）求和，左边是斐波那契数的和，右边是所有内部项都相消的伸缩和

sum(n=1 to N) F[n] = (F[3]-F[2]) + (F[4]-F[3]) + (F[5]-F[4])
                     + ... + (F[N+2]-F[N+1])
                   = F[N+2] - F[2] 

所以对于使用问题N=4000000的和，我们只需要计算一下

F[4,000,002] - 1

使用计算单个斐波那契数的超快速方法之一。减半和平方，相当于迭代矩阵的指数化，或基于黄金比率的指数公式（以必要的精度计算）

由于大约每20个斐波那契数，您将获得4个额外的数字，因此最终结果将由大约800000个数字组成。最好使用能够包含所有这些内容的数据类型

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偶数斐波那契数的求和 只要检查前10或20个斐波那契数，就会发现所有偶数成员的指数都是3*k。通过减去两个连续递归进行检查，得到

F[n+3]=2*F[n+2]-F[n]

所以F[n+3]总是具有与F[n]相同的奇偶性。投入更多的计算，我们会发现成员之间有三个指数的递归

F[n+3] = 4*F[n] + F[n-3]

背景

S = sum(k=1 to K) F[3*k]

对n=3*k的递归求和得到

F[3*K+3]+S-F[3] = 4*S + (-F[3*K]+S+F[0])

或

因此，所需的总和具有以下公式

S = (F[3*K+2]-1)/2

黄金分割公式的快速计算揭示了N应该是什么，使得F[N]刚好低于边界，因此K=N div 3应该是什么

N = Floor(  log( sqrt(5)*Max )/log( 0.5*(1+sqrt(5)) )  )

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欧拉问题的简化公式 在原始问题中，我们发现N=33，因此总和为

S = (F[35]-1)/2;

(F[1,333,335]-1)/2

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减少问题中的问题及其后果 以问题中的错误表示问题为例，N=4000000，因此K=133333，总和为

S = (F[35]-1)/2;

(F[1,333,335]-1)/2

它仍然有大约533400个数字。是的，biginteger类型可以处理这样的数字，用它们计算只需要时间

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如果以60行80位的格式打印，这个数字将填充112张纸，只是为了了解输出的内容。

不必计算所有斐波那契数字

注意：对于斐波那契序列，我在后面使用更标准的初始值F[0]=0，F[1]=1。项目Euler#2以F[2]=1，F[3]=2，F[4]=3，…，开始其序列，。。。。对于这个问题，两种选择的结果都是一样的

所有斐波那契数之和（作为热身） 递推方程

F[n+1] = F[n] + F[n-1]

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