Python 分析算法的时间复杂度

在一次采访中，我被要求编写一个函数，给定一棵树和树中的两个节点，将最接近的祖先返回给这两个孩子

这是我的密码：

two_paths = []

def get_closest_ancestor(path1, path2):

    for i in xrange(min(len(path1), len(path2))):
        if path1[i] != path2[i]:
            return path1[i-1]

def find_two_paths(root, a, b, path = []):
    global two_paths

    newpath = path[:]

    newpath.append(root)

    if len(two_nodes) == 2:
        return

    if root == a:
        two_paths.append(newpath)
    if root == b:
        two_paths.append(newpath)

    for child in root.children:
        find_two_paths(child, a, b, newpath)


if __name__ == "__main__":

    find_two_paths(root, a, b)
    print get_closest_ancestor(two_paths)

然后我被要求给出我刚写的算法的大O复杂度

所以我们有两个函数，

查找两条路径

，和

获取最近的祖先

我的第一个问题是，我们在这里接受什么作为输入。在我们的大O符号中，

n

是什么

我想我们看到的是树的深度是

n

find_two_path

显然执行DFS搜索，因此我认为我们已经具有指数级的时间复杂性

我们能不能利用它是一棵树的事实，说复杂性是

O（b^n）

其中

b

是树的分支因子，而

n

是深度

我们能不能说它是

O（2^n）

---

我们是否可以忽略

获取最近的祖先

函数，因为它是

O（n）

，并且被

查找两条路径

所压倒？

这绝对不是

O（2^n）

。速度快得多。对于图问题，通常将

n

定义为树中的节点数。让我们总结一下您的算法的作用：

从根目录中查找a然后查找b的DFS（记住指向它们的路径）

逐项比较这些路径，直到发现差异（并返回最后一个公共节点）

对于步骤1。每个节点访问一次，因此性能与节点数成比例。这里有一点值得注意的是，你实际上是短路的（尽管是使用全局的），所以你不考虑所有节点。当然，最坏的情况是

a

和

b

是我们访问的最后两个节点，因此DFS将是

O（n）

对于步骤2，最坏的情况是路径在最后一个节点之前是相同的（

a

和

b

是兄弟节点）。因此，最差的性能将与最长列表的长度成正比。现在，我们可以对步骤1进行批判性思考，并推断出访问每个节点的O（n）将始终大于或等于步骤2中的最长路径（因此总体而言，

O（n）

将占主导地位，并且将是

O（n）

时间），但让我们彻底了解一下。如果我们对这棵树有一些保证（比如它是一棵平衡的二叉树），我们可以说最长的路径是

O（logn）

，因此比较这两条路径最坏的情况是

O（logn）

。但是我们没有这样的保证。我们可以更一般地说，如果我们可以将图的分支因子（每个节点的子节点的平均数量）近似为

b

，那么我们可以近似地说最长路径是

O（log_b n）

。但是对于一般树（最坏的情况是链表），路径是O（n）长度。因此，步骤2也是最坏情况O（n）

---

因此，此

O（n）

树度量复杂性的总体运行时通常是节点数。缺乏精确回答的假设，特别是关于树中节点的顺序。一个简单的通用解决方案是构造从节点1到根的路径1，然后构造从节点2到根的路径2，同时在每个步骤中验证当前节点是否在路径1中。当然，如果你的树是有序的，一些优化显然是可能的

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假设由n个节点组成的树具有精确的度数d，那么构造path1最差需要log_d（n）个步骤，构造path2最差也需要log_d（n）个步骤，但是对于它的每个步骤，您需要搜索采用log_d（n）的path1。最后需要log_d（n）^2。

我想说树的大小（节点数）是

n

的一个合适指标。您只需在两个根路径中搜索公共条目。所以它应该是O（logn）我们只得到树的根作为输入，不能访问节点

a

和

b

的父节点，你可能知道这一点，但是编写的代码不起作用（

two_path

永远不会写入，使用可变的默认参数--ew-，你应该用

*two_path

调用）@BaileyParker为什么不回答这个问题呢？“通常将n定义为访问的节点数”：有了这样的定义，搜索二叉搜索树将是O（n）！你可能是指树中的节点总数？@YvesDaoust确实如此。固定的！