Algorithm 贪婪顺序/并行任务调度

我们有

N

任务需要安排处理。每个任务由两部分组成，需要按顺序执行。第一个任务由互斥锁保护，因此一次只能执行一个任务。第二部分并没有这样的约束，任何数量的任务都可以同时执行。对于任务

i

，我们知道它需要在每个部分花费多少时间，即受保护部分的mi和可以并行执行的部分的ai

问题是找到任务的排列方式，以便将执行所有任务所需的时间减至最少

我的直觉告诉我，这可以通过贪婪算法来解决，按照人工智能的降序来安排任务

例如，给定的任务有：
m1=3，a1=9
m2=2，a2=7
m3=6，a3=10

最佳解决方案是排列3、1、2，其中任务重叠如下（加号为第1部分花费的时间，减号为第2部分花费的时间）：

任何其他排列都会产生更高的所需总时间，例如：

1 +++--------- (3,9)
2    ++------- (2,7)
3      ++++++---------- (6, 10)
Total time needed: 3+2+6+10: 21

---

然而，我很难证明贪婪的解决方案是最优的。关于如何做到这一点有什么想法吗？

要解决这个问题，让我们先写一个方程式来计算N个任务所需的总时间

这个方程式是： t=m1+a1+max（（a2+m2-a1），（a3+m3-a2），…）

这个等式的第一部分（m1+m2+…）是第一个任务所需的时间

方程的第二部分更为复杂。简单地说，max（）计算与第一个任务不重叠的最大任务时间（在您的示例中，此最大时间为9）

现在让我们通过归纳来证明最优解。假设n个任务的最佳答案是按ai降序排序。然后，如果我们引入另一个an+1和mn+1，并且an+1是ai的最小值（我们可以通过归纳假设来假设），那么an+1应该位于列表的底部

为了证明这一点，假设+1去了任何其他位置，比如i。然后ai+1+mi+1-an的值将明显大于之前的值（甚至大于an+mn-ai-1）。因此，max（）函数将返回一个大于或等于其上一个值的值

现在我们必须证明n=2的归纳假设。假设我们有a1和a2

方程t=m1+a1+a2+m2-a1的值现在很有趣，它简化为t=m1+a2+m2

---

很容易看出a2必须是这个等式的较小值才能最小化。因此，归纳假设已经被证明。

为了解决这个问题，让我们先写一个方程式来计算N个任务所需的总时间

这个方程式是： t=m1+a1+max（（a2+m2-a1），（a3+m3-a2），…）

这个等式的第一部分（m1+m2+…）是第一个任务所需的时间

方程的第二部分更为复杂。简单地说，max（）计算与第一个任务不重叠的最大任务时间（在您的示例中，此最大时间为9）

现在让我们通过归纳来证明最优解。假设n个任务的最佳答案是按ai降序排序。然后，如果我们引入另一个an+1和mn+1，并且an+1是ai的最小值（我们可以通过归纳假设来假设），那么an+1应该位于列表的底部

为了证明这一点，假设+1去了任何其他位置，比如i。然后ai+1+mi+1-an的值将明显大于之前的值（甚至大于an+mn-ai-1）。因此，max（）函数将返回一个大于或等于其上一个值的值

现在我们必须证明n=2的归纳假设。假设我们有a1和a2

方程t=m1+a1+a2+m2-a1的值现在很有趣，它简化为t=m1+a2+m2

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很容易看出a2必须是这个等式的较小值才能最小化。因此，归纳假设已经被证明。

我对这个问题得到了一个非常聪明的答案，在as上用矛盾证明。

我对这个问题得到了一个非常聪明的答案，在as上用矛盾证明。

你能澄清一下最佳排列是3，1，2？我编辑了主要问题以澄清。感谢澄清。我在下面贴了一张证明。我试图尽可能详细地回答。请询问您是否有任何问题或我是否犯了逻辑错误。您能否澄清最佳排列方式是3、1、2？我编辑了主要问题以澄清。感谢您的澄清。我在下面贴了一张证明。我试图尽可能详细地回答。请询问您是否有任何问题或我是否犯了逻辑错误。谢谢您的回答。然而，我认为t的方程是不正确的。在只有两个任务的情况下，它会给我们：t=m1+a2+m2。假设一个a1=2，m1=5，a2=1，m2=1的例子，它会给我们t=3，而正确的t是7。我遗漏了什么吗？m1+m2+a2=5+1+1=7谢谢你的回答。然而，我认为t的方程是不正确的。在只有两个任务的情况下，它会给我们：t=m1+a2+m2。假设一个a1=2，m1=5，a2=1，m2=1的例子，它会给我们t=3，而正确的t是7。我遗漏了什么吗？m1+m2+a2=5+1+1=7

1 +++--------- (3,9)
2    ++------- (2,7)
3      ++++++---------- (6, 10)
Total time needed: 3+2+6+10: 21