如何使用R求函数的极值？

我有这样一个函数：

（乳胶配方：

$v[y]=\int_0^2（y'^2+23yy'+12y^2+3ye^{2t}）dt$

）

在给定的开始和结束条件下

y（0）=-1，y（2）=18

。

---

如何在R中找到这个函数的极值？例如，我知道如何在Excel中完成，但在R中没有找到合适的解决方案。

在尝试在数值环境中解决此类任务之前，最好向后靠一靠，思考一下

这是“变分演算”的数学学科中典型处理的问题。函数

y（t）

成为函数极值（即积分）的一个必要条件是所谓的Euler-Lagrange方程，参见 在Wolfram Mathworld

将其应用于

f（t，y，y'）

作为您请求中的被积函数，我得到（请检查，我很容易出错）

你现在可以找到这个微分方程的符号解（借助教科书或一些CAS），或者借助R软件包（如“deSolve”）进行数值求解

---

PS：作为一个基于离散化的优化问题来解决这个问题是可能的，但可能会让你走上一条漫长而崎岖的道路。我记得，仅通过应用几百个变量（不在R中）就可以将“短时间问题”解决到令人满意的精度。

在尝试在数值环境中解决这类任务之前，最好向后靠一靠，思考一下

这是“变分演算”的数学学科中典型处理的问题。函数

y（t）

成为函数极值（即积分）的一个必要条件是所谓的Euler-Lagrange方程，参见 在Wolfram Mathworld

将其应用于

f（t，y，y'）

作为您请求中的被积函数，我得到（请检查，我很容易出错）

你现在可以找到这个微分方程的符号解（借助教科书或一些CAS），或者借助R软件包（如“deSolve”）进行数值求解

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PS：作为一个基于离散化的优化问题来解决这个问题是可能的，但可能会让你走上一条漫长而崎岖的道路。我记得仅通过应用几百个变量（不在R中）就可以将“短时间问题”解决到令人满意的精度。

这里是在R中的数值解。首先是函数：

f<-function(y,t=head(seq(0,2,len=length(y)),-1)){
  len<-length(y)-1
  dy<-diff(y)*len/2
  y0<-(head(y,-1)+y[-1])/2
  2*sum(dy^2+23*y0*dy+12*y0^2+3*y0*exp(2*t))/len
}

在500分的评估中，使用BFGS只需几秒钟：

> system.time(yy<-findMinY(500,method="BFGS"))
Iterations: 90 18 
   user  system elapsed 
  2.696   0.000   2.703 

---

这里是R中的数值解。首先是函数：

f<-function(y,t=head(seq(0,2,len=length(y)),-1)){
  len<-length(y)-1
  dy<-diff(y)*len/2
  y0<-(head(y,-1)+y[-1])/2
  2*sum(dy^2+23*y0*dy+12*y0^2+3*y0*exp(2*t))/len
}

在500分的评估中，使用BFGS只需几秒钟：

> system.time(yy<-findMinY(500,method="BFGS"))
Iterations: 90 18 
   user  system elapsed 
  2.696   0.000   2.703 

---

现在是数值积分欧拉方程的解决方案

正如@HansWerner所指出的，这个问题归结为将Euler-Lagrange方程应用于OP问题中的被积函数，然后解析或数值求解该微分方程。在这种情况下，相关的ODE是

y'' - 12*y = 3/2*exp(2*t)
subject to:
y(0) = -1
y(2) = 18

所以这是一个边值问题，最好使用包

bvpSolve

中的

bvpcol（…）

来解决

library(bvpSolve)
F <- function(t, y.in, pars){
  dy  <- y.in[2]
  d2y <- 12*y.in[1] + 1.5*exp(2*t)
  return(list(c(dy,d2y)))
}
init <- c(-1,NA)
end  <- c(18,NA)
t    <- seq(0, 2, by = 0.01)
sol  <- bvpcol(yini = init, yend = end, x = t, func = F)

y = function(t){    # analytic solution...
  b <- sqrt(12)
  a <- 1.5/(4-b*b)
  u <- exp(2*b)
  C1 <- ((18*u + 1) - a*(exp(4)*u-1))/(u*u - 1)
  C2 <- -1 - a - C1
  return(a*exp(2*t) + C1*exp(b*t) + C2*exp(-b*t))
}

par(mfrow=c(1,2))
plot(t,y(t), type="l", xlim=c(0,2),ylim=c(-1,18), col="red", main="Analytical Solution")
plot(sol[,1],sol[,2], type="l", xlim=c(0,2),ylim=c(-1,18), xlab="t", ylab="y(t)", main="Numerical Solution")

---

其中，

a=-3/16

和

C1

和

C2

被确定为满足边界条件。如图所示，数值解和解析解完全一致，也与@mrip提供的解一致，现在是数值积分欧拉方程的解

正如@HansWerner所指出的，这个问题归结为将Euler-Lagrange方程应用于OP问题中的被积函数，然后解析或数值求解该微分方程。在这种情况下，相关的ODE是

y'' - 12*y = 3/2*exp(2*t)
subject to:
y(0) = -1
y(2) = 18

所以这是一个边值问题，最好使用包

bvpSolve

中的

bvpcol（…）

来解决

library(bvpSolve)
F <- function(t, y.in, pars){
  dy  <- y.in[2]
  d2y <- 12*y.in[1] + 1.5*exp(2*t)
  return(list(c(dy,d2y)))
}
init <- c(-1,NA)
end  <- c(18,NA)
t    <- seq(0, 2, by = 0.01)
sol  <- bvpcol(yini = init, yend = end, x = t, func = F)

y = function(t){    # analytic solution...
  b <- sqrt(12)
  a <- 1.5/(4-b*b)
  u <- exp(2*b)
  C1 <- ((18*u + 1) - a*(exp(4)*u-1))/(u*u - 1)
  C2 <- -1 - a - C1
  return(a*exp(2*t) + C1*exp(b*t) + C2*exp(-b*t))
}

par(mfrow=c(1,2))
plot(t,y(t), type="l", xlim=c(0,2),ylim=c(-1,18), col="red", main="Analytical Solution")
plot(sol[,1],sol[,2], type="l", xlim=c(0,2),ylim=c(-1,18), xlab="t", ylab="y(t)", main="Numerical Solution")

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其中，

a=-3/16

和

C1

和

C2

被确定为满足边界条件。如图所示，数值解和解析解完全一致，也与@mrip

Excel提供的解一致？？你的

y'

是什么

dy/dt

？在Excel中，我的做法与近似法类似：创建t、y、y'和v列，然后找到解决方案。y'是dy/dt。

？deriv

和

？optim

可能有用您所说的“找到极值”是什么意思？您是否正在寻找一个函数

y

，它可以最大化或最小化

v[y]

？你确定excel能做到这一点吗？我假设你的策略是做一个离散近似，然后优化。如果是这样的话，这可以在R中完成，但我不知道excel做了多维非线性优化。一个有效的excel解决方案会给我留下深刻的印象。你能和我们分享吗？Excel可以做到这一点？？你的

y'

是什么

dy/dt

？在Excel中，我的做法与近似法类似：创建t、y、y'和v列，然后找到解决方案。y'是dy/dt。

？deriv

和

？optim

可能有用您所说的“找到极值”是什么意思？您是否正在寻找一个函数

y

，它可以最大化或最小化

v[y]

？你确定excel能做到这一点吗？我假设你的策略是做一个离散近似，然后优化。如果是这样的话，这可以在R中完成，但我不知道excel做了多维非线性优化。一个有效的excel解决方案会给我留下深刻的印象。你能和我们分享一下吗？有趣的方法。我喜欢它，但我担心OP会将

y

和

y'

的一些数值集合放入一个简单的解算器中。“这个问题措辞拙劣。@HansWerner-我认为应用于

f（t，y，y'）

的Euler-Lagrange方程给出了

y'-12*y-3/2*exp（2*t）

有趣的方法。我喜欢它，但我担心OP会将

y

和

y'

的一些数值集合放入一个简单的解算器中。措辞拙劣的问题