Recursion 如何证明递归列表长度的终止？

假设我们有一个列表：

List = nil | Cons(car cdr:List).

注意，我说的是可修改列表！ 和一个简单的递归长度函数：

recursive Length(List l) = match l with
   | nil => 0
   | Cons(car cdr) => 1 + Length cdr
end.

当然，它仅在列表为非循环时终止：

inductive NonCircular(List l) = {
   empty: NonCircular(nil) |
   \forall head, tail: NonCircular(tail) => NonCircular (Cons(head tail))
}

请注意，此谓词作为递归函数实现，也不会在循环列表上终止

通常我看到列表遍历终止的证明，使用列表长度作为有界递减因子。他们假设

Length

是非负的。但是，在我看来，这个事实（

Length l>=0

）源自于

Length

的终止

您如何证明

长度

终止并且在

非循环

（或等效的、定义更好的谓词）列表上是非负的

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我是否遗漏了一个重要的概念？

除非长度函数具有循环检测功能，否则无法保证它会停止

对于单链表，可以使用来确定

cdr

中可能存在圆圈的长度

只有两个光标，乌龟从第一个元素开始，兔子从第二个元素开始。乌龟一次移动一个指针，而兔子移动两个指针（如果可以的话）。兔子最终要么和乌龟一样，表示一个循环，要么在知道长度为2*步或2*步+1时终止

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与在树中查找循环相比，这非常便宜，并且在终止列表上的性能与没有循环检测的函数一样好

顶部的列表定义似乎不允许循环列表。每次调用“构造函数”Cons都将创建一个新指针，以后不允许修改指针来创建循环

如果你想处理循环，你需要一个更复杂的列表定义。您可能需要定义一个包含数据值和地址的单元格，以及一个包含指向前一个节点的单元格和地址的节点，然后您需要定义解引用运算符，以便从地址返回到单元格。也可以尝试在此对象上定义非圆形

我的直觉是，你还需要定义一个内射函数，从上面的“简单”列表定义到我概述的复杂列表定义，最后你将能够证明你的结果

另外，非循环的定义不需要终止。这不是一个程序，而是一个证明。如果它成立，那么你可以检查证明，看看为什么它成立，并在其他证明中使用这一点。

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编辑：感谢Necto指出我错了。

除了最后一段，我同意。终止对于证明程序至关重要。否则，这里是false的证明：

f:true->false:={return f（）；}