String 二进制字符串中的反转

长度为n的二进制字符串中有多少个倒数

For example , n = 3
000->0
001->0
010->1
011->0
100->2
101->1
110->2
111->0
So total inversions are 6

---

这是一个简单的递归函数。 假设我们知道n-1的答案。 在所有之前的序列之后，我们添加0或1作为第一个字符

若我们添加0作为第一个字符，这意味着倒数的计数将不会改变：所以答案将和n-1相同

若我们把1作为第一个字符，那个么倒数的平均计数将和之前一样，并且将在所有之前的序列中添加额外的倒数等于0的计数

长度为

n-1

的序列中的0和1计数将为：

(n-1)*2^(n-1)

其中一半为零，它将给出以下结果

(n-1)*2^(n-2)

这意味着我们有以下公式：

f(1) = 0
f(n) = 2*f(n-1) + (n-1)*2^(n-2)

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这是一个简单的递归函数。 假设我们知道n-1的答案。 在所有之前的序列之后，我们添加0或1作为第一个字符

若我们添加0作为第一个字符，这意味着倒数的计数将不会改变：所以答案将和n-1相同

若我们把1作为第一个字符，那个么倒数的平均计数将和之前一样，并且将在所有之前的序列中添加额外的倒数等于0的计数

长度为

n-1

的序列中的0和1计数将为：

(n-1)*2^(n-1)

其中一半为零，它将给出以下结果

(n-1)*2^(n-2)

这意味着我们有以下公式：

f(1) = 0
f(n) = 2*f(n-1) + (n-1)*2^(n-2)

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这个问题看起来像是家庭作业，所以让我省略细节。你可以：

以反复出现的方式解决问题（见托洛托夫的答案）

构造并求解特征方程，得到具有任意常数的封闭式解（

c1

，

c2

，…，

cn

）；事实上，你只会得到一个未知常数

将一些已知解（例如

f（1）=0

，

f（3）=6

）放入公式中，找出所有未知系数

你应该得到的最终答案是

 f(n) = n*(n-1)*2**(n-3)

---

其中，

**

表示提升权力（

2**（n-3）

是

n-3中的
2
）。如果你不想处理复发之类的问题，你可以通过归纳法来证明这个公式。
这个问题看起来像是一个家庭作业，所以让我省略细节。你可以：

以反复出现的方式解决问题（见托洛托夫的答案）
构造并求解特征方程，得到具有任意常数的封闭式解（
c1
，
c2
，…，
cn
）；事实上，你只会得到一个未知常数
将一些已知解（例如
f（1）=0
，
f（3）=6
）放入公式中，找出所有未知系数
你应该得到的最终答案是

 f(n) = n*(n-1)*2**(n-3)

其中，
**
表示提升权力（
2**（n-3）
是
n-3中的
2
）。如果你不想处理复发和类似的事情，你可以通过归纳法证明公式。
你说的“反转”是什么意思？请展示一些努力。你能做出一个强力的解决方案吗？你所说的“反转”是什么意思？请展示一些努力。你能做一个蛮力解吗？再进一步，我们可以得到封闭式，它是
f（n）=n*（n-1）*2^（n-3）
；如果一个人不想解特征方程之类的东西，他/她可以通过进一步归纳来证明这个解，我们可以得到一个封闭的公式，它是
f（n）=n*（n-1）*2^（n-3）
；如果一个人不想解特征方程之类的东西，他/她可以用归纳法证明这个解