Time complexity 迭代算法的时间复杂度

我有一个迭代算法，在每次迭代中，计算量逐渐减少。以下是我的算法的示例：

输入大小：n

和

总迭代次数=k

iter 1: time taken -> f1 * n
iter 2: time taken -> f2 * n
iter 3: time taken -> f3 * n
...
iter k: time taken -> fk * n

其中

f1>f2>f3>…>fk

和

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更具体地说：

如果示例的分母：

iter 1: input size = n (always n)
iter 2: input size = n/2 (can change)
iter 3: input size = n/5 (can change)
iter 4: input size = n/8 (can change)
...
iter k: input size = n/10 (can change)

都是严格整数，那么它就是O（n*logk）

原因如下。对于序列XnO（Yn），必须存在一些M（实数）和M（整数），这样XnM

现在考虑序列k= { 1, 1／2, 1／3，…1／k}。还考虑序列n＝{ 1, 2, 3，4…}。
现在让我们假设Yn=N^t*K（这是N和K的左外积）。无论fi的值如何，此序列Yn始终大于您的序列

所以Xn<1*| Yn |，其中Yn是谐波级数乘以n。正如阿米特指出的，Yn属于O（n*logk），Xn也是如此。由于我们不能将Xn的边界再靠近上面，我们对Xn的最佳极限近似也是O（n*logk）给定的信息是不够的，我们所能确定的是复杂性是
O（（f1+…+fk）*n）
1

为什么？我将用一个例子说明
fi
的两种情况-每种情况的复杂性不同：

案例1:
fi=1/2^i

在这种情况下，我们得到
n*1/2+n*1/4+…+n*1/2^k
，算法为
O（n）

案例2:
fi=1/i

在这种情况下，我们得到一个：
n*1/2+n*1/3+…+n*1/k=n（1/2+1/3+…+1/k）=O（nlogk）

编辑：
根据您的评论和编辑，算法按所述运行的最坏情况（如果我正确理解您的话）似乎是：

如果确实是这种情况，它与所描述的案例2匹配，则总运行时间为：
n+n/2+n/3+..+n/k=n（1+1/2+1/3+…+1/k）
，即
O（nlogk）


（1） 严格地说，从数学上讲，大O是一个渐近上界，而且由于
fi否，我试图改进“最远点选择”算法（Teofilo F.GONZALEZ（1985）），该算法的时间复杂度为
big-O（kn）
问题：fi依赖于n还是k？fi依赖于
n
。我为这个问题补充了更多的信息。谢谢。分母总是整数，还是可以是实数？让我们看看fk不是常数，这很重要，如果
f1，…，fk
具有zeno属性？（考虑
fk=1/2^k
）只要它们不依赖于k或n，就不重要了。Lol不管在O（kn）中是什么。可能有更好的限制行为（没有），但显然是O（kn）。在你的证明中：对于整数分母的最坏情况，我们不能约束得更紧，因为谐波序列到
k
的部分和大于
log k
。但正如阿米特在开始时所说，如果f_k
下降得足够快，那么我们可能会得到一个更好的界限。在序列为
1、1/2、1/4、1/8、
的情况下，整体操作为
O（n）
。发问者说，每一步的改进都是“未知的”，但这可能意味着他不知道而不是不知道，因此它实际上可能比
O（n log k）
更好。正如你所说，根据所提供的信息，我们再也不能证明得更好了：——）@SteveJessop我在结尾时挥了挥手，因为打字比在纸上写校样更难。然而，“未知”和“不可知”之间的区别在这里并不重要。为什么会这样？OP询问了序列1/1、1/f2、1/f3。。。。1/fk，这是非随机的。它们不是随机变量，也不是不确定的。未具体说明。未指定的参数与未知参数不同。我的证明是任何f1，f2。。。fk，其中f1>f2>f3>fk和0
iter 1: input size = n (always n)
iter 2: input size = n/2 (can change)
iter 3: input size = n/5 (can change)
iter 4: input size = n/8 (can change)
...
iter k: input size = n/10 (can change)

iter1 -> n ops
iter2 -> n/2 ops
iter3 -> n/3 ops
...
iterk -> n/k ops