Big o 为什么此代码的运行时为O（n^5）？

我被要求确定此代码的大O时间复杂性：

function(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < i * i; j++) {
            if (j % i == 0) {
                for (int k = 0; k < j; k++) {
                    printf("*");
                }
            }
        }
    }
}

函数（int n）{
对于（int i=0；i

---

给出的答案是O（n5）。有人能解释为什么，或者如何确定这一点吗？我们是将最内层循环的工作次数相加，还是将每个循环的复杂度相乘？

因此，O时间复杂度是嵌套在任意变量n中的每个循环的最大单个迭代次数的乘积

给你

function (int n) // as in O(n)
{
    for(int i=0;i<n;i++) //  n
    {
    for(int j=i;j<i*i;j++) // n ^ 2
       {

         if(j%i==0) // w/e
           {
             for(int k=0;k<j;k++) // n ^ 2
              {
                printf("*");
              }
            }
       }

     }
}

function（int n）//与O（n）中的一样
{
对于（inti=0；i这样分析代码的一种方法是从最里面的循环开始向外工作

    for (int k=0; k<j; k++)
    {
      printf("*");
    }

从这个角度看，运行时大约接近0.125n4，大约是n4/8。这实际上是有意义的——最内层循环的隐藏常数因子是1/2（因为1+2+3+…+i=i（i+1）/2），最外层循环的隐藏常数因子是1/4（因为13+23+…+n3=n2（n+1）2/4）换句话说，理论与实践非常吻合！
在最坏情况下，该问题总时间复杂度的数学形式如下：

function(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < i * i; j+=i) {
                for (int k = 0; k < j; k++) {
                    printf("*");
                }
        }
    }
}


所以复杂性是O（n^5）

编辑：在上面的回答中，我不注意

如果
性能

我们可以按如下方式更改您的代码：

function(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < i * i; j+=i) {
                for (int k = 0; k < j; k++) {
                    printf("*");
                }
        }
    }
}

函数（int n）{
对于（int i=0；i

因此，正如templatetypedef提到的，很明显，总运行时间是
O（n^4）
您可以提供O（n^5）上的源代码吗答案？这是从哪里来的？他们给出了什么解释？这个问题在Narasimha Karumachi的《数据结构和算法变得简单》一书中给出。解释是最外层的循环执行n次，中间的循环执行nxn次，最内层的循环执行nxn次。然后他说总的复杂度是O^5@kpie我以为OP询问代码运行时的大O时间复杂性，因为我不确定他们会谈论什么其他数量。不过，我感兴趣的主要事情是确保我的数学是正确的。你看到任何看起来不对劲的地方吗？据我所知，我可能会离开这里（非常尊重177k和所有）但是O是最坏的情况，就像在没有考虑条件的情况下一样，函数的运行时间是有限的@kpie，而您可以通过将所有循环相乘得到运行时的保守上界，这通常不是确定函数运行时的好方法。您可以得到更精确的上界-这就是我正在尝试的g这里要做的是——通过更仔细地考虑每个循环实际做了多少工作。再一次，我非常确定数学是正确的，这就是为什么我试图了解为什么我得到的答案与OP建议的不同。让我们在聊天中继续这个问题……亲爱的@templatetypedef，这个问题的时间复杂性是
O（n^5）
。您可以看到我的答案。我认为，与前面的答案一样，这忽略了if语句对时间复杂性的影响。我非常确定您有一个不严格的有效答案，而且我编写的程序以经验支持我的数学分析，这一事实让我相信我的答案是正确的。亲爱的@templatetypedef、 你说得对。谢谢你的好意。
#include <iostream>
 #include <cstdint>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 
 uint64_t countWork(int n) {
   uint64_t result = 0;
 
   for (int i = 0; i < n; i++) {
     for (int j = 1; j < i * i; j++) {
       if (j % i == 0) {
        for (int k = 0; k < j; k++) {
          result++;
        }
      }
    }
   }
 
   return result;
 }

 int main() {
   for (int n = 100; n <= 1000; n += 100) {
     cout << "Ratio of work to n^4 when n = "
          << n << " is " << countWork(n) / pow(double(n), 4.0) 
          << endl;
   }
 }

Ratio of work to n^4 when n = 100 is 0.120871
Ratio of work to n^4 when n = 200 is 0.122926
Ratio of work to n^4 when n = 300 is 0.123615
Ratio of work to n^4 when n = 400 is 0.123961
Ratio of work to n^4 when n = 500 is 0.124168
Ratio of work to n^4 when n = 600 is 0.124307
Ratio of work to n^4 when n = 700 is 0.124406
Ratio of work to n^4 when n = 800 is 0.12448
Ratio of work to n^4 when n = 900 is 0.124537
Ratio of work to n^4 when n = 1000 is 0.124584

function(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < i * i; j+=i) {
                for (int k = 0; k < j; k++) {
                    printf("*");
                }
        }
    }
}