Tree Agda中的静态平衡树

我通过学习Agda来自学依赖类型

这是一个二叉树的类型，通过大小来平衡

open import Data.Nat
open import Data.Nat.Properties.Simple

data T (A : Set) : ℕ -> Set where
  empty : T A 0
  leaf : A -> T A 1
  bal : ∀ {n} -> T A n -> T A n -> T A (n + n)
  heavyL : ∀ {n} -> T A (suc n) -> T A n -> T A (suc (n + n))

树可以是完全平衡的（

bal

），或者左子树可以包含比右子树多一个元素（

heavyL

）。（在这种情况下，下一次插入将进入右子树。）其思想是插入将在树的左半部和右半部之间翻转，有效地（决定性地）洗牌输入列表

我无法定义

insert

typecheck:

insert : ∀ {A n} -> A -> T A n -> T A (suc n)
insert x empty = leaf x
insert x (leaf y) = bal (leaf x) (leaf y)
insert x (bal l r) = heavyL (insert x l) r
insert x (heavyL l r) = bal l (insert x r)

Agda拒绝将

bal（插入x r）

作为

heavyL

案例的右侧：

.n + suc .n != suc (.n + .n) of type ℕ
when checking that the expression bal l (insert x r) has type
T .A (suc (suc (.n + .n)))

我试图用证据来修补我的定义

insert x (heavyL {n} l r) rewrite +-suc n n = bal l (insert x r)

。。。但是我收到了同样的错误信息。（我是否误解了重写的作用？）

我还尝试在相同的证明假设下转换大小相等的树：

convertT : ∀ {n m A} -> T A (n + suc m) -> T A (suc (n + m))
convertT {n} {m} t rewrite +-suc n m = t

insert x (heavyL {n} l r) rewrite +-suc n n = bal (convertT l) (convertT (insert x r))

Agda接受这一可能性，但以黄色突出显示方程式。我想我需要明确给出传递给

bal

构造函数的两个子树的大小：

insert x (heavyL {n} l r) rewrite +-suc n n = bal {n = suc n} (convertT l) (convertT (insert x r))

但是现在我又收到了同样的错误消息

n + suc n != suc (n + n) of type ℕ
when checking that the expression
bal {n = suc n} (convertT l) (convertT (insert x r)) has type
T .A (suc (suc (n + n)))

---

我没有主意了。我肯定我犯了一个愚蠢的错误。我做错了什么？我需要做什么才能定义

插入

类型检查？

您的

重写

尝试几乎奏效，但它使用的相等性是错误的方向。要使其朝正确的方向工作，可以将其翻转：

open import Relation.Binary.PropositionalEquality
-- ...
insert x (heavyL {n} l r) rewrite sym (+-suc n n) = bal l (insert x r)

或将

与

子句一起使用：

insert x (heavyL {n} l r) with bal l (insert x r)
... | t rewrite +-suc n n = t

另一种可能是自己在右侧进行替换：

open import Relation.Binary.PropositionalEquality
-- ...
insert x (heavyL {n} l r) = subst (T _) (+-suc (suc n) n) (bal l (insert x r))

---

您只需朝另一个方向重写：

open import Relation.Binary.PropositionalEquality

insert : ∀ {A n} -> A -> T A n -> T A (suc n)
insert x empty = leaf x
insert x (leaf y) = bal (leaf y) (leaf y)
insert x (bal l r) = heavyL (insert x l) r
insert x (heavyL {n} l r) rewrite sym (+-suc n n) = bal l (insert x r)

您可以使用Agda的大孔机械来了解发生了什么：

insert x (heavyL {n} l r) = {!!}

在键入检查并将光标放在

{！！}

内后，您可以键入

C-C-，

并获取

Goal: T .A (suc (suc (n + n)))
————————————————————————————————————————————————————————————
r  : T .A n
l  : T .A (suc n)
n  : ℕ
x  : .A
.A : Set

将

ball（插入x r）

放入孔中并键入

C-C-。

您将获得

Goal: T .A (suc (suc (n + n)))
Have: T .A (suc (n + suc n))
————————————————————————————————————————————————————————————
r  : T .A n
l  : T .A (suc n)
n  : ℕ
x  : .A
.A : Set

因此存在不匹配<代码>重写修复它：

insert x (heavyL {n} l r) rewrite sym (+-suc n n) = {!bal l (insert x r)!}

现在输入

C-C-。

（在检查后）给出

您可以通过在孔中键入

C-C-r

来完成定义

Agda承认这是一种可能性，但强调了 黄色

---

Agda无法从

n+suc m

推断

n

和

m

，因为

n

上存在模式匹配。Agda邮件列表中有一个关于隐式参数的问题。

谢谢！真不敢相信我竟然没有想到

sym

。我也不知道

C-C-。

来看看你有什么。

Goal: T .A (suc (n + suc n))
Have: T .A (suc (n + suc n))
————————————————————————————————————————————————————————————
r  : T .A n
l  : T .A (suc n)
x  : .A
.A : Set
n  : ℕ