Vector 指向指定平面中三维向量的左侧或右侧？

我不确定以前是否有人问过这样的问题，但我搜索了一下，没有找到我要找的东西

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我知道如何确定点是在二维线的左侧还是右侧。但假设我们有一个三维向量。当然，一个3D向量会通过无限平面，但是假设我们选择了其中一个我们感兴趣的平面，我们在这个平面上有一个特定的点，我们想知道它是在左边还是右边，还是在我们的向量上（相对于所选的平面）。如何做到这一点？

您应该明确定义该平面的方向-例如，定义主（正向）法线

N

-就像

OZ

轴是

OXY

平面的法线一样

如果你有一个A，B，C三角形，并声称它是逆时针方向的，你可以计算前向平面法线为

N=AB x BC

对于给定平面中的点

A、B、D

，计算（AB和

AD

的向量积，然后是结果和

N

的标量积）

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该值的符号为正，如果向量

AB，AD，N

形式

右手
三元组且D位于AB方向的左侧
一个直观的解决方案是为平面定义一个坐标系，如下所示。让我们标准化你问题中的3d向量，并将得到的单位向量称为
v
，让
x
成为平面上的一个点，我们将其单位法线表示为
n
。现在，您可以选择以
x
为中心的坐标系，该坐标系由三个
3*1
单位向量
v
、
n
和
b=v.crossProduct（n）
构成

这个想法是，如果你在这个坐标系中表示一个点，那么如果它的
b
坐标是负数，你可以说它在左边。因此，如果它的
b
坐标为正，它将位于右侧

显然，如果在这个坐标系中有一个点
q
，可以使用

  q_w=R*q+x

其中旋转矩阵R为矩阵，其列为平面坐标系的单位轴：

  R=[v n b]

因此，如果在世界坐标中有一个点
Q
，使用上述关系的倒数，计算
转置（R）*（Q-x）
，并查看
b
坐标是正坐标还是负坐标
 没有反馈，StackOverflow无法工作。您没有讨论所有主题，也没有接受答案。@MBo非常感谢您这么说。我也注意到在OP的历史中。是我还是没人再讨论什么？在过去的几天里，我已经写了10个冗长而详细的答案，但似乎没有人在意。他们不仅不会投票/接受，即使答案显然已经解决了他们的问题，而且如果他们回答（大如果），他们会像你欠他们什么一样跟你说话。我受够了。无论如何，回答得不错。我不应该像那些惹我生气的人那样，所以这是我的一票。一篇专栏文章，为了****的缘故给出一些反馈。对不起，伙计们，如果你们感到恼火，当回答我问题的东西不完全在我问题的答案中时，我会离开社区去选择他们认为最好的答案，也许我错了，我会从现在开始给出我的反馈。关于这个问题，我总结了一种解决我的问题的方法，即：让直线为AB，点为C，首先求叉积AB×AC，结果为向量V=（x，y，z）。如果x，y，z都是0，则点在直线上，否则x，y，z的符号分别代表C的方向，在下一个注释中继续。@MohamedELTair在你们所有的历史中，大多数答案都准确地回答了这个问题。我还认为，目前的问题也是如此。你的行为给人的印象是，如果答案需要一点努力，你就是看不懂。@MohamedELTair这正是我所说的：你说“你没有把它简化得足够”。那么，请让我这样做吧！我很乐意解释（其他用户也一样），我们都会学到一些东西。反馈不仅仅是赞成票/反对票，而是对我说我错了，就这个话题进行对话，让答案不断发展。不过，感谢你最终给出反馈：）
  R=[v n b]