Wolfram mathematica 计算小数点后三位以内系列的部分和

我需要家庭作业的帮助来计算以下系列的部分和，该部分和在系列值的0.001范围内

• 系列1：
• 系列2：

我为类似的系列1/n^3尝试了以下代码，结果显示n=71，效果很好：

Solve[Abs[Integrate[1/n^3, n]] == .0001, n]

Limit[N[Sum[1/i^3, {i, 71, n}]], n -> Infinity]

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但是，当我在series1和series2中尝试相同的设置时，它不会起作用。我问了一些人，他们给了我一些提示，我必须对series1使用

FindRoot

，对series2使用while循环，但是，当我尝试时，它也失败了。任何形式的帮助都会很感激，因为我已经尝试解决这些问题好几个小时了，但几乎一事无成。

对于你的第一个求和，你可以使用以下事实：余数

\sum{n=M}^\inf\log n/n^2

由

\int{M-1}^\inf\log n/n^2\text{d}n=\frac{1+\log（M-1）}{M-1

从上面限定。现在，由于这个表达式作为

M

的函数是单调递减的（因为原始和的所有项都是正的），您可以找到哪个值低于要求的阈值，如下所示：

M = Ceiling[(x /. FindRoot[(1 + Log[x-1])/(x-1) == 0.001, {x, 10}])]
10235

N[Sum[Log[n]/n^2, {n, 1, \[Infinity]}]] - N[Sum[Log[n]/n^2, {n, 1, M}]]
0.000999816

第二个求和比较容易，因为我们知道确切的结果是

-Log[2]

，因此可以直接用

检查，而
循环需要多少项：

s = 0; j = 0; While[Abs[-Log[2.] - s] > 0.001, j += 1; s += (-1)^j/j;]; j
500

N[Abs[-Log[2] - Sum[(-1)^n/n, {n, 1, j}]]]
0.000999

你知道你可以直接用无穷大作为求和的极限吗？您的最后一个示例实例可以作为
Sum[1/i^3，{i，71，Infinity}]//N
完成。