Wolfram mathematica 数学中的复误差函数

w（z）被定义为

e^（-x^2）erfc（-ix）

。如上所述，使用w（z）的问题是，erfc倾向于在更大的x上爆炸（由指数变为0补充，因此所有东西都保持较小），因此Mathematica恢复到任意精度的计算，这使得生命非常缓慢。该函数用于实现voigt轮廓-光谱和其他相关领域中常用的线型。现在我恢复到只计算一次线型，并使用插值来加快速度，但是这不允许我轻松地更改线型的参数（或适合它们）

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scipy有一个很好的快速实现w（z）为

scipy.special.wofz

，我想知道在Mathematica中是否有一个等价物。

复杂的误差函数可以用Hermite“多项式”

H_{-1}（x）

：

而且，评估不会遭受太多的下溢和溢出

In[68]:= 2 HermiteH[-1, I x] /. x -> 100000.
Out[68]= 6.12323*10^-22 - 0.00001 I

In[69]:= Sqrt[Pi] E^-x^2 Erfc[I x] /. x -> 100000.
During evaluation of In[69]:= General::unfl: Underflow occurred in computation. >>
During evaluation of In[69]:= General::ovfl: Overflow occurred in computation. >>
Out[69]= Indeterminate

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也就是说，一些快速测试表明，埃尔米特函数的计算速度比指数函数和误差函数乘积的计算速度慢…

无穷远处的级数展开表明实部和虚部具有非常不同的尺度。我建议单独计算它们，不要添加它们。下面我使用级数展开的前几个项来得到虚部

In[186]:= 
w[x_?NumericQ] := {N[Exp[-SetPrecision[x, 25]^2], 20], 
  N[(3 /(4 Sqrt[\[Pi]] x^5) + 1/(2 Sqrt[\[Pi]] x^3) + 1/(
     Sqrt[\[Pi]] x))]}

In[187]:= w[11]

Out[187]= {2.8207700884601354011*10^-53, 0.05150453151309212}

In[188]:= w[1000]

Out[188]= {3.296831478088558579*10^-434295, 0.0005641898656429712}

我不知道你有多想要那个很小的真实角色。如果你能放弃它，这将使数字保持在一个合理的范围内。在某些范围内（或者如果需要高于机器精度），您可能需要使用该虚部展开式中的更多项

In[186]:= 
w[x_?NumericQ] := {N[Exp[-SetPrecision[x, 25]^2], 20], 
  N[(3 /(4 Sqrt[\[Pi]] x^5) + 1/(2 Sqrt[\[Pi]] x^3) + 1/(
     Sqrt[\[Pi]] x))]}

In[187]:= w[11]

Out[187]= {2.8207700884601354011*10^-53, 0.05150453151309212}

In[188]:= w[1000]

Out[188]= {3.296831478088558579*10^-434295, 0.0005641898656429712}

丹尼尔·利奇布劳

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Wolfram Research

在Mathematica中，可以使用以下方法明确有效地计算实线上复误差函数的实部和虚部：

这比使用

HermiteH[-1，z]

快4倍左右

In[10]:= w1[x_] := E^-x^2 Sqrt[\[Pi]] - 2 I DawsonF[x]
w2[x_] := 2 HermiteH[-1, I x]

In[15]:= AbsoluteTiming[w1 /@ Range[-5.0, 5.0, 0.001];]

Out[15]= {2.3272327, Null}

In[16]:= AbsoluteTiming[w2 /@ Range[-5.0, 5.0, 0.001];]

Out[16]= {10.2400239, Null}

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只需包装C库。

中还提供了可从Mathematica运行的复杂错误函数（又称Faddeeva函数）的C语言程序。更多信息，请阅读文章。

错误函数爆炸，x大（和实）的指数衰减，这难道不是另一种方式吗？我尝试使用

SetSystemOptions[“CatchMachineUnderflow”->False]

，但结果是

0+0I

用于大参数。然后我尝试将函数定义为

Exp[Log[-z^2+Log@Erfc[-I*z]]

，但这并不比自动切换快多少。因此，似乎很难加快速度，除了@Daniel Lichtblausuggests@Heike你是对的，我有点失误。因为实际部分实际上是零，足够远（voigt轮廓被定义为w（z）的真实部分），所以我只要把整个东西设置为0就足够了（比如在mathematica切换到任意精度之前-但我对该机制不是很熟悉）因为最后我做了一个数值拟合，10^-53远低于浮点的机器sigma。我运行了一些旧代码（从2007年开始）前几天，手册

erf

简化/替换规则因为那些

DawsonF

函数而被打破。它们在版本7中是新的。你知道它们出现在哪里以及为什么它们被添加到Mma中吗？@Simon如果“它们出现的地方”指的是应用程序，我在进行路径积分蒙特卡罗时遇到过它们（或者通常使用假想的时间动作）。我想主要的吸引力在于，这些函数存在近似值，序列确实非常迅速地收敛（同样，我只从数字公式中知道这一点，我自己也从未在愤怒中使用过这些函数）@Simon在等离子体研究中很活跃，我希望积分能出现在等离子体物理中，尽管我自己还没有看到它的用途。这不是Mathematica的答案，除非你展示如何从Mathematica调用该库（比OP提到的scipy库更简单）.从Mathematica调用C是标准的，.是的，是我发布了libcerf，抱歉并感谢您通知我有关披露规则的信息。@JoachimWuttke您是否碰巧有一个如何使用Mathematica的libcerf的示例？查看wolfram文档，似乎我必须开始修改源代码，所以如果您ady有一个有效的实现，我更愿意使用它。@Jordan，没有，到目前为止我还没有示例。但是如果有人给我指出一个，那么我很乐意将它添加到libcerf发行版中。

In[10]:= w1[x_] := E^-x^2 Sqrt[\[Pi]] - 2 I DawsonF[x]
w2[x_] := 2 HermiteH[-1, I x]

In[15]:= AbsoluteTiming[w1 /@ Range[-5.0, 5.0, 0.001];]

Out[15]= {2.3272327, Null}

In[16]:= AbsoluteTiming[w2 /@ Range[-5.0, 5.0, 0.001];]

Out[16]= {10.2400239, Null}