有可能证明这个定义的函数是z3中的对合吗？

我试图理解如何定义一个断言，以证明已经定义的函数的某些数学性质。正如在SMT中所讨论的，解算器不太适合于归纳，而归纳通常需要证明数学性质

在我的例子中，我有一个递归函数定义，用于标识函数

f（x）=x

（作为一个简单的示例）：

这表明，这些特征无法在开箱即用的情况下得到证明。然而，我想知道一般的数学性质是如何在

z3

中得到证明的。我尝试用所有量词证明函数的对合，但

z3

没有终止：

(assert
(forall ((a String))
    (=
        a
        (indentity (identity a))
    )
)

我的问题：

---

我们可以用什么断言来证明这样一个递归函数是一个带有

z3

的对合？

这里你真的做不了多少。理想情况下，策略是分别定义和证明基本情况和归纳步骤，然后（在元级别）论证该属性对于所有字符串都是正确的

对于基本情况，事情很简单。我会定义：

(define-fun check-inv ((x String)) Bool (= (identity (identity x)) x))

(define-fun base_case () Bool (check-inv ""))

(define-fun inductive_step () Bool
   (forall ((x String) (c String))
        (implies (and (= 1 (str.len c)) (check-inv x))
                 (check-inv (str.++ c x)))))

然后：

(assert (not base_case))

如果您这样做，z3将高兴地说

unsat

，即基本情况为真。对于导入步骤，我将定义：

(define-fun check-inv ((x String)) Bool (= (identity (identity x)) x))

(define-fun base_case () Bool (check-inv ""))

(define-fun inductive_step () Bool
   (forall ((x String) (c String))
        (implies (and (= 1 (str.len c)) (check-inv x))
                 (check-inv (str.++ c x)))))

并希望证明：

(assert (not inductive_step))

唉，您会发现z3会被这个查询阻塞，即不会终止。假设有一秒钟，你会得出结论（在元层次上）

identity

确实是一个对合。但这必须在z3以上的一个级别上完成；或者由一个人，或者其他一些使用z3作为子引擎的证明工具

因此，自然的问题是问，让z3证明归纳步骤的希望是什么？它绝对不会开箱即用。但也许您可以使用模式来诱使它这样做，有关详细信息，请参阅。但是，请注意，即使您可以通过非常聪明的模式实例化获得此证明，该证明也将非常脆弱：即使对定理或z3的实际实现进行微小更改，也会影响结果，因为您将受到无数启发的摆布

长话短说：如果您的目标是证明递归函数的属性，那么您使用的工具是错误的。使用ACL2、HOL、Isabelle等。；它们是专门为处理这些定理而设计和构建的。SMT解决方案根本不符合这里的要求