如何用任何语言描述适合3D（几何体、渲染器、物理）的椭圆

我可以想出两种方法来创建椭圆类

在数学中，椭圆由两个焦点和长轴或半长轴长度来描述

典型结构如下所示：

• 焦点1：矢量3D
• 焦点2：矢量3D
• 半主轴：双
• 平面法线：矢量3D

然而，我发现它是次优的，因为99%的时候，我并不真正关心焦点。

弄清楚如何与直线/光线相交或执行投影看起来比较困难

相反，我将椭圆表示为沿向量拉伸的圆

结构应该是这样的：

• 中心：Vector3D
• 半径：双
• stretchVector:Vector3D（应用拉伸的轴）
• 双人床
• 平面法线：矢量3D

我们的想法是执行所有测试/跟踪/投影，就好像它是针对一个简单的圆进行的一样，只需在将值发送到“我的圆”方法之前缩放值即可。

但是，我在该领域缺乏经验，因此我不确定哪一个是：

• 更易于使用
• 计算速度更快（它是3D的，所以我需要很好的性能！）

---

编辑：实际上，我需要椭圆作为体积的面（圆柱体部分、圆锥体部分），而不是运动。所以我的主要用途是光线投射或与直线、平面、圆、其他椭圆等相交

如果你学物理，你应该关注焦点，因为这在这样的设置中非常重要。有关在此类上下文中描述省略号的方法，请参见。如果你想得到某个天体的速度，你需要这样的参数化

也就是说，我认为3d中椭圆最简单的非物理描述可能是：

x(t) = a + cos(t) b + sin(t) c

---

这里，

a

是中心的位置，

b

是从中心到半长轴末端的向量，

c

是从中心到半短轴末端的向量。您希望

b

和

c

彼此垂直，即点积为零。对于t ∈ [0,2π）这将给出椭圆的所有点，许多几何特性可以用依赖于t的条件来描述，因此可以求解t。

如果你做物理，你应该关注焦点，因为这在这样的设置中是非常相关的。请参阅，以了解在这样的上下文中描述椭圆的方法。你需要这样的参数如果你想得到某个天体的速度，就要进行三角化

也就是说，我认为3d中椭圆最简单的非物理描述可能是：

x(t) = a + cos(t) b + sin(t) c

---

这里，

a

是中心的位置，

b

是从中心到半长轴末端的向量，

c

是从中心到半长轴末端的向量。你会期望

b

和

c

彼此垂直，即点积为零。对于t ∈ [0,2π）这将给出椭圆的所有点，许多几何特性可以用依赖于t的条件来描述，因此可以求解t。

椭圆的形状由长轴

a

和短轴

b

的长度定义。接下来，定义包含平面可能是个好主意通过中心点

C

和法向量

n_0

标准化为长度1。您需要的剩余信息是长轴的方向。这可以通过与指定平面中的默认线的角度来指定，但我不知道一种自然有效的方法。因此我会选择指定方向长轴的作用向量

v_a

。这引入了一些冗余，因为

n_0.v_a=0

必须保持并且另外

|v_a |=1

或

|v_a |=a

（第一个条件更适合您的需要）.短轴的方向向量

v_b

可根据上述信息计算，但为了提高效率，人们可能更希望对其进行预计算

总之，可以用以下数据在3D中表示椭圆：

• a，b

  ：分别表示长轴和短轴长度的实际值

• C

  ：三维点，椭圆中心

• n_0

  ：三维向量，包含平面的法向量

• v_a，v_b

  ：分别表示大调和小调方向的3D矢量

符合下列条件：

• a>=b>0

• | n|u 0 |=| v|u a |=| v|u b |=1

• n_0=v_a x v_b

• v_a.v_b=0

现在可以通过以下方式进行有效的交叉口测试：

计算射线与包含平面（由

C

和

n_0

定义）的交点

P

通过计算

P*=M.（P-C）

（参见下面2x3矩阵

M

的定义），将交点

P

转换为二维标准椭圆位置（中心=（0,0），长轴平行于x轴）

通过计算

P**=（b/a P*x，P*y）

---

现在

P

位于原始三维椭圆内，当且仅当以下条件成立：

P**x^2+P**y^2
椭圆的形状由长轴
a
和短轴
b
的长度定义。接下来，通过中心点
C
和法向量定义包含平面可能是个好主意ode>n_0

标准化为长度1。您需要的剩余信息是长轴的方向。这可以由j指定