Algorithm 具有可变权重的所有对最短路径

假设给你一个加权无向完全图，其中n个节点的权重为非负Cij，其中对于i=j，Cii=0，对于i！=j Cij>0。假设您必须找到任意两个节点i和j之间的最大最短路径。在这里，您可以很容易地使用Floyd Warshall，或者使用Dijkstra n次，或者其他任何方法，然后在所有n^2条最短路径中找到最大值

现在假设Cij不是常数，而是可以取两个值，Aij和Bij，其中0 p1->…->pk->j，在最坏的情况下，你会受到影响，在这个意义上，你需要选择那些边来获取Bij的值，这样，如果你在它的方向上有固定的节点，那么路径值是最大的

例如，如果路径长度为4 i-k-l-j，则在该路径上的最优解中，只有一个权重更改为Bij，另一个权重值为Aij。让m1=Bik+Akl+Alj，m2=Aik+Bkl+Alj，m3=Aik+Akl+Blj，路径的值是max{m1，m2，m3}。因此，在i和j之间的所有路径中，您必须选择一条使最大值（如本例所述）最小的路径（这是最短路径定义的变体）。你必须对所有的i和j对都这样做

您没有得到每个路径上需要改变的数量的约束，而是m的值，一个在完整图中应该改变的权重数。问题是找到最短路径的最大值，如前所述

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另外，我的问题是：这是NP难问题，还是存在多项式解？

路径最多应该包含每个顶点一次，还是允许它访问一个顶点两次或更多次？最多一次。但是，如果您找到一条包含某个顶点的最短路径不止一次，我认为不可能是最短的，因为边是非负的。是否允许m B边随每个选择（起始顶点、结束顶点）而变化？如果是，那么你的问题是否等同于以下内容？求最大化f（u，v）的顶点对{u，v}，其中f（u，v）是g（P）在从u到v的所有路径P上的最小值，g（P）是通过将P中的min（m，nEdges（P））边设置为其B-长度而将其余边设置为其A-长度所能达到的最大路径长度。如果m B-边不应该变化，那么它等价于：求顶点对吗{u，v}最大化h（u，v），其中h（u，v）是所有图G'中a（u，v，G'）的最大值，这些图G'具有与输入图G相同的边，且其中m条边指定了它们的B-长度，其余边指定了它们的a-长度，而a（u，v，G'）是G'中从u到v的最小路径长度？