Algorithm 算法-所有节点在树中的最大距离

所以。。查找树中两个节点之间的最长路径相当容易。但是我想要的是为所有

x

查找从节点

x

到树中另一个节点的最长路径

这个问题也可以用以下方式表达：计算从给定的树可以生成的所有有根树的高度

当然，一种方法是，对树中的所有节点执行BFS/DFS，并记住每个节点找到的最远节点。然而，这导致O（N2）。有可能做得更好吗

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编辑：简单回顾一下，我的问题是而不是如何在图中找到最长路径。如果可能的话，它是如何为中的所有节点

x

找到包含给定节点

x

的最长路径，比O（N2）时间复杂度更好。

您的问题归结为在树中找到最长路径。这也称为树的直径

这是一个研究得很好的主题，有很多资源提供了一个O（n）算法，其中n是图中的节点数

请参见和

是的，有一个O（n）算法

把树想象成无根的——只是一个图，其中每个节点都有双向边，不形成循环

对于具有相邻节点的给定节点p，例如a_i，我们将计算高度Hpa_i。高度HPAII是根P的子树的高度（即对于算法的这一部分，我们暂时考虑根子树），通过考虑节点AAI来得到P的父。 如果你感兴趣的是从每个节点到一个叶子的最长路径（你的问题加上它的标题让人怀疑你到底在计算什么），那么它就是max{Hpa_i for all i}。相应的i值给出了最长路径本身

另一方面，如果你对通过p的最长路径感兴趣，那将是从{len（p--a_i）+Ha_ip for all i}中选择的最大对的和，i的两个对应值给出了最长路径本身

因此，如果我们有每个节点的高度，那么得到最终结果就是一个简单的O（n）作业

只剩下计算所有节点的高度。为此，从一个特殊的深度优先搜索开始。它接受2个节点作为参数。第一个节点p是正在搜索的节点，第二个节点q\in{a_i}是当前被视为p的父节点的相邻节点。假设U是一个将节点对带到高度的映射：（p，q）->Hpq

函数搜索和标签（p，q）
if（（p，q）映射到U中的高度Hpq）{return Hpq}
如果（p==null）{将（p，q）->0添加到U并返回0}
设h=max（所有x与p相邻，不等于q）{
len（p--x）+搜索_和_标签（x，p）
}
将（p，q）->h添加到U中
返回h

现在我们可以找到所有的高度

为所有节点p和相邻节点x添加映射（p，x）->null到U
还为所有相邻节点p<3的节点添加一个映射（p，z）->null到U
while（U包含形式为（p，x）->null的映射）
search_和_label（p，x）//这将用高度替换空映射

这将是一个O（n）计算，因为它在每条边上花费恒定的工作量，并且树中的边数为n-1

代码

今天下雨了，所以这里有一些代码生成一个随机树，并用O（n）时间内的最长路径信息标记它。首先是典型的输出。每个节点都标有自己的编号，然后是包含它的最长路径的长度，然后是该路径上相邻节点的编号。小边标签是高度信息。首先是相对子树的高度以及该子树中最长叶子路径的节点：

导入java.io.File；
导入java.io.FileNotFoundException；
导入java.io.PrintStream；
导入java.util.HashMap；
导入java.util.Map；
导入java.util.Random；
/**
*无向图。它有一个生成器，用随机变量填充图形
*无根树。它知道如何用最长的路径来装饰自己
*当它是这样一棵树的时候。
*/
类图{
/**
*边p--q表示为边[p][q]=dq和边[q][p]=dp，其中dq和
*dp是节点数据。它们描述了边缘的各个端点：
*

*
dq.len==dp.len，边缘长度
*
dq.h是以q为父树，根植于p的子树的高度。
*
dq。下一个是p（相对于父q）的子代，p是max的根
*高度子树。
*
*/
最终映射边=新HashMap（）；
/**
*图中的节点。
*/
静态类节点{
final int id；//唯一的节点id。
节点a，b；//最长路径上的相邻节点。
double len；//最长路径的长度。
节点（int i）{
这个id=i；
}
}
/**
*与图形中边的一端关联的数据。
*/
静态类边数据{
最终双透镜；//边缘长度。
双h；//子树高度。
Node next；//到叶的最大长度路径上的下一个节点。
EdgeData（双透镜）{
this.len=len；
}
}
/**
*向图形中添加新节点并返回它。
*/
Node addNode（）{
节点=新节点（currentNodeIndex++）；
put（node，newhashmap（））；
返回节点；
}
private int currentNodeIndex=0；
/**
*在节点x和y之间添加无向边。
*/
无效附加（节点x、节点y、双透镜）{
边。获取（x）。放置（y，新边数据（len））；
边。获取（y）。放置（x，新边数据（len））；
}
/**
*假设相邻节点q是其父节点，则修饰根在p的子树。
*装饰是备忘录。没有子树被装饰两次。
*/
EdgeData装饰子树（节点p、节点q）{
映射相邻=边。获取（p）；
EdgeData数据=相邻.get（q）；
if（data.h==null）{
数据h=0.0；
对于（Map.Entry x:nextant.entrySet（））{
如果（x.getKey（）！=q）{
double hNew=x.getValue（）.len+decorateSubtree（x.getKey（））
M(X) = 0 IF X DOES NOT EXIST
EXIST(X) = 1 IF X EXISTS, 0 OTHERWISE

M = MAX(EXIST(LEFT) + M(LEFT), EXIST(RIGHT) + M(RIGHT))

IF SUM(EXIST(..)) = 0 THEN R = 0
IF SUM(EXIST(..)) = 1 THEN R = X.M + 1 WHERE EXIST(X) = 1

R = SUM(MAX2(x,y: x.M >= y.M >= ..)) + EXIST(x) + EXIST(y)

R: the node max distance through.
M: the node max depth.

R(NULL) = 0
R(THIS) = R OF THE CURRENT NODE

S = MAX(R(THIS), S(CHILD1), .. S(CHILDX))

TIME = N + N + N = 3N

TIME ~ O(N)