Algorithm 有向图中的Euler回路

如何检查有向图是否是欧拉图

1） 阶数非零的所有顶点都属于一个强连通组件

2） 对于每个顶点，入度等于出度。资料来源：

问题： 在给定的两个条件中，第一个条件严格吗？我的意思是，为什么这个图必须是“强”连通图？如果图形只是连通的呢

我知道条件1可以用弱连通图代替。同样，如果图是刚连通的而不是弱连通的呢？ 会很高兴看到一些例子。

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<强> P.S/<强>：在上述讨论中始终考虑条件2。所谓“刚连接”，我的意思是在图中存在一个顶点，所有其他顶点都可以从该顶点到达。

这是一个有趣的问题。据我所知，在有向图的上下文中，没有“连接”的标准化含义。有向图中连通性的两个一般概念是

• 强连接性，其中任何一对节点u和v都有一条从u到v的路径和一条从v到u的路径，以及
• 弱连通性，其中忽略箭头上的方向性而形成的无向图是连通的

有向图的“刚连接”版本与这些定义略有不同，但它与强连接相关。任何有向图都可以将其节点划分为多个（SCC）节点组，这些节点组可以相互连接。这些强连接组件形成一个DAG，其中每个强连接组件是一个节点，并且如果第一个SCC中的一个节点与第二个SCC中的一个节点有一条边，则从一个SCC到另一个SCC有一条边

您对“刚刚连接”的图形的定义可以如下所示：

• “刚刚连接”：SCCs的DAG有一个可以到达所有其他节点的源节点

请注意，“justconnected”表示弱连接，但并非相反

事实证明，在这种情况下，如果你有一个图，其中每个节点的indegree恰好等于它的outdegree，那么如果这个图是“刚连接的”，那么它有一个Euler回路。如果你的图是“刚连通的”，那么它是弱连通的。然后，我们要声明，任何索引等于outdegrees的弱连通图也必须是强连通的。要查看此信息，请在SCC的DAG中拾取任何没有传入边的SCC。进入此SCC中任何节点的任何边缘必须来自该SCC内。因此，如果我们遍历了SCC中的每个节点，并将离开该节点的边的数量相加，那么该总数将与进入SCC中每个节点的边的数量相匹配。但是，由于节点的独立度之和等于节点的独立度之和，因此不可能有任何边从这个SCC开始，到另一个SCC结束，因为所有边都被考虑在内。因此，该SCC没有留下任何边缘

我们刚刚展示了，任何源SCC必须与任何其他SCC没有边。由于在某些源SCC中有一些节点可以到达每个节点，这意味着图中没有其他SCC，因此图只有一个SCC，因此是强连接的