Algorithm 关于最小生成树的基本问题

这不是家庭作业。我正在做教科书上的练习，以理解

MST（最小生成树）

假设在加权无向图中有一个循环

C

。据我所知，以下是正确的：

• C

  中最重的边缘不属于

  G

  的MST。也就是说，没有包含该边的

  G

  的MST

• C

  中最轻的边属于

  G

  的某个MST。也就是说，有一个MST为

  G

  ，它包含该边

现在我想知道下面的说法是否也正确

• C

  中最轻的边属于

  G

  的所有MST。也就是说，没有不包含该边的

  G

  的MST

• C

  中的任何边，最重的边除外，都属于某些MST。也就是说，对于

  C

  中的每条边（最重的边除外），都有一个包含该边的MST

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你能证明最后一个说法吗？

你的第一个说法总是正确的。对于任何图形，最轻的边都位于MST上

第二条并不总是正确的。如果整个图形是一个 循环，因此每个节点都有两条边与之关联。但在一般情况下,， 只要在节点

u

和

v

之间存在路径，权重

k

的边

（u，v）

就永远不会在MST上

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以小于

k

的总重量连接它们

即使对于第一个索赔，如果有多个最轻的边缘，所有边缘都不需要包含在MST中。

我认为您的索赔无效。问题是，您只考虑一个较大的图中的循环

例如，考虑一个循环中由6个节点组成的图G（随机权重>1）。您的声明可能适用于该图，但现在在该图的中心添加1个节点，并将其与成本为1的6个链接连接起来。现在，整个图形的MST将仅由这6条边（形成星形）组成

如果您现在查看您的索赔，您将看到：

• 周期中最轻的边缘不属于MST（=恒星）
• 循环中的边都不在MST中