Algorithm 转换为β-位整数到仅使用O（lgβ；）乘法和除法的数字数组 （编辑：我的问题已经被标记为一个副本，它已经链接到我原来的帖子中，甚至在标记之前，我认为它不足以回答我的特定问题，为什么没有得到任何未知函数的假设，如何得到一定的复杂性。）

我正在尝试解决CLRS中的练习（Cormen算法简介，第3版）。演习内容如下：

给出一种将给定的β位（二进制）整数转换为十进制表示的有效算法。论证如果长度最多为β的整数的乘法或除法需要时间M（β），那么我们可以在时间Θ[M（β）lgβ]中将二进制转换为十进制。（提示：使用分而治之的方法，通过单独的递归获得结果的上半部分和下半部分）

有人问过这个问题，而且。然而，那里的答案要么做出错误的假设，比如M（β）=O（β），要么给出的答案完全忽略了问题的要求。另一个答案甚至明确指出了Θ[M（β）lgβ]的结果，但解释相当简单，似乎结果是显而易见的：

但是，您可以在O（M（n）log（n））时间内进行基址转换，方法是选取目标基址的幂，该幂大致等于要转换的数字的平方根，用它进行除法和余数（可以通过牛顿方法在O（M（n））时间内完成），然后在两半上递归

这个解释对我来说并不完全清楚：如果不对M（n）做任何假设，这种递归将导致O（M（n）n）时间，而不是O（M（n）log（n））。（编辑：我的问题被标记为该线程的重复，但在标记为重复之前，我已经在我的原始帖子中包含了该线程的链接，因为我觉得该线程的答案没有充分解决我所困惑的问题）

据我所知，问题是每个乘法、商和余数运算都需要一个恒定的时间M，它支配着所有其他类型的运算，比如加法。因此，支配项M（β）lgβ仅来自于执行lgβ乘法和除法

然而，我不能想出任何只需要lgβ分割的东西。例如，如果我们从问题中得到提示，我们可以用伪代码提出以下分治算法

decimal(x, start, end, n):
    digits = end - start + 1 // assume power of 2
    if digits == 1:
        x[start] = n // 1-based index
    else:
        t = 10^(digits/2) // assume negligible time
        quotient, remainder = n / t // takes M time
        decimal(x, start, start+digits/2-1, quotient)
        decimal(x, start+digits/2, end, remainder)

对d位数字n调用

decimal（x，1，d，n）

，为简单起见，d的幂为2，将in的十进制表示形式放入size-d数组x中。假设行

商，余数=n/t

，占用时间M，并且在运行时主导其他一切，运行时递归是t（β）=2T（β/2）+M，其解是t（β）=Θ（βM），而不是Θ（Mlgβ）

我对这个问题的理解正确吗？如果是这样，如何仅使用Θ（lgβ）乘法和/或除法获得十进制表示

讨论这个问题。特别是：

二进制->基数：二进制->基数转换相同，但相反。以基数16中的N位数字X开始。您希望将其转换为基数b中的M位数字R。计算：高=地板（X/bM/2）。计算：低=X-bM/2*高。递归地转换低和高。附加结果。最终结果R将是转换为基数b的原始数字

然而，我仍然不明白这是怎样的O（lgb）乘法；如果你在两半上都递归，根据定义，你是在访问递归树中的每个节点，因此有O（B）乘法

Brent的《现代计算机算法》第55页，共239页，也讨论了“次二次算法”，并提到了M（β）lgβ分治算法。然而，我仍然不知道lgβ来自何方。同样，如果你分而治之，并且在两半上递归，那么运行时至少是线性的，而不是对数的！在该书第55页（共239页）中，提供了以下算法（略加解释）：

算法1.26 FastIntegerOutput
输入：A=（0到n-1之和）A_i 2^i
输出：一个字符串S，表示一个基于in的10
如果A<10，则
返回字符（A）
其他的
求k，使其10^（2k-2）首先，让它不碍事：就我所知，我问题的标题所要求的，用对数数的除法和乘法进行转换是不可能的；这只是我基于对问题的误解而做出的假设

我与教科书的作者进行了通信，他们说，该算法确实调用除法Θ（β）次，而不是Θ（lgβ），在更深的递归层次上，M实际上作用于更小的参数，而不是像我在问题中错误假设的那样作用于常数、顶级β。特别是，树的顶层调用有M（β/2），下一层调用有2M（β/4），然后是4M（β/8），等等，总共有lgβ层。只要M（β）=Ω（β），树的总和就是O（M（β）lgβ，尽管通常不是Ω（M（β）lgβ），因此不是Θ（M（β）lgβ）。例如，对于多项式M（β）=Θ（β^α），对于α=1，树和是Θ（βlgβ）=Θ（M（β）lgβ），对于α>1，树和是Θ（β^α）=Θ（M（β））

因此，如果我们只假设M（β）=Ω（β），那么运行时将更准确地描述为O（M（β）lgβ），而不是像CLRS练习中那样的Θ（M（β）lgβ）。（在我与《现代计算机算术》的一位作者的通信中，他们认为CLRS意味着“给出一个有效的算法”，意味着假设M（β）是线性或拟线性的，但CLRS通常非常明确地说明了我们应该做出的假设，“给出一个有效的算法”这只是一个有点通用的短语，他们在文本中经常使用它来练习和解决问题，所以我觉得这可能是CLRS的一个小错误

更新：我提交了
Algorithm 1.26 FastIntegerOutput
Input: A = (sum 0 to n-1) a_i 2^i
Output: a string S of characters, representing A in based 10
    if A < 10 then
        return char(A)
    else
        find k such that 10^(2k-2) <= A < 10^(2k)
        (Q, R) = DivRem(A, 10^k)
        r = FastIntegerOutput(R)
        return concatenate(FastIntegerOutput(Q), zeros(k-len(r)), r)