Algorithm 选择要做的任务以赚取尽可能多的钱

我无法解决这个问题：

• 你被赋予了n个任务
• 每个任务都有时间t，表示完成任务所需的时间（t[i]是第i个任务所需的时间）
• r[i]表示第i个任务的截止日期（我们从时间=0开始，r[i]是一个整数，表示任务必须完成的时间）
• 如果任务在截止日期前完成，您将获得任务i的奖励p[i]
• 您需要计算通过执行这些任务组合可以获得的最大报酬
• 只有在满足截止日期的情况下，才会给予奖励
• 所有值都是整数
• 解决方案必须具有尽可能低的复杂性

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我尝试应用贪婪方法，但我意识到该算法并不总是给出最优解。我可以写一个暴力算法，但这不是重点。我认为可以使用动态规划，但我不知道如何使用。

如果所有时间都相等，那么系统可以显示为拟阵，贪婪算法将给出最佳结果（参见Charles E.Leiserson、Thomas H.Cormen、Clifford Stein和Ronald Rivest的“算法简介”第16章）

然而，假设时间不相等，一般情况下，该问题是NP难问题

要知道为什么，考虑所有的期限是固定值的情况。然后，该问题等价于找到将项目打包到固定时间预算中的最佳方法，并等价于已知的NP完全问题

在您的特定情况下，时间是整数，因此您可以调整时间

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我建议尝试使用基于子问题f（t）的动态规划来解决这个问题，这是调度截止日期小于或等于t的所有任务的最小惩罚。

我使用动态规划来解决它f[i]是您在i第小时可以获得的最大奖励。解决方案是f[max（r）]，其中max（r）是截止日期的最大值

在我的解决方案中，您还需要一个列表X[i]，其中X[i]表示在i第小时您应该完成的任务的最佳列表，以获得最大奖励

以下是伪代码：

LIST x0...n = empty;  // x0, x1....xn are all different lists
f[0] = 0;
for i=1 to max(r) do
    max = f[i-1];
    x[i] = x[i-1];
    for j=1 to n do
        if t[j] <= i and r[j] >= i and j.isNotElementOf(x[f[i-t[j]]]) then
            reward = p[j] + f[i-t[j]];
            if reward > max then
                max = reward;;
                x[i] = x[i-t[j]];
                x[i].add(j);
    f[i] = max;
return f[max(r)];

列表x0…n=空；//x0，x1…xn都是不同的列表
f[0]=0；
对于i=1至最大（r）do
max=f[i-1]；
x[i]=x[i-1]；
对于j=1到n do
如果t[j]=i且j.isNotElementOf（x[f[i-t[j]]），则
奖励=p[j]+f[i-t[j]]；
如果奖励>最大值，则
最大值=奖励；；
x[i]=x[i-t[j]；
x[i].添加（j）；
f[i]=最大值；
返回f[max（r）]；

谢谢您的建议。这有帮助。事实上，我用改进的背包动态规划方法解决了这个问题。