Algorithm 计算算法复杂性-混淆

我有以下代码片段：

sum = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
    for (j = 0; j < i; j++)
        sum++;

sum=0；
对于（i=0；i

---

复杂性将是

O（n^2）

，但是如果我想进一步挖掘内部循环的复杂性，那么它将是

（n（n-1））/2

或

（n-1）？
常数与大O符号无关。
是的，O（n^2），但实际上是0+1+…+n-1=n（n-1）/2=O（n^2），绝对不是（n-1）
 您计算的
（n（n-1）/2）
是代码的精确迭代次数。当被问及时间复杂度是否为大O时，您给出的估计值刚好足以表示所花费的时间

换句话说，您需要找到
中
n
的
最小的
幂
，这样对于一些
k（k>0）
，
k*n^power
将大于确切的迭代次数。在您的情况下，
k
恰好是
1
，
power
恰好是
2
。然后，
O（n^power）
是您的时间复杂性

time = n*(n-1)/2
     = (n*n - n)/2

由于big-O表示法是一个上界，因此较小的阶项（-n）和常数因子（1/2）都被删除（因为它们对于表示时间上界并不重要）以产生big-O表示法，
O（n*n）
更好地称为
O（n^2）
首先，
（n-1）表示
（n-1）（n-2）…（2）（1）
。这显然不是你想要的

如果你计算实际的迭代次数，它是
0+1+2+…+（n-2）+（n-1）
。请注意，总和中有
n
项，我们可以将它们配对，使每对的平均值为
（n-1）/2
。（将最高值和最低值配对，第二高值和第二低值配对，等等）如果
n
为奇数，则剩下一个无法配对，但其值也方便地为
（n-1）/2
。因此，您有
n个
项，并且所有项的平均值为
（n-1）/2
，因此总总和为
n（n-1）/2

现在，对于大O表示法，我们有多少次迭代并不重要——我们只想知道当
n
非常大时的限制。请注意，我们的迭代次数可以写成
（1/2）n^2-（1/2）n
。对于非常大的
n
，
n^2
项远大于
n
项，因此我们去掉
n
项。这就给我们留下了
（1/2）n^2
，但是大O表示法的另一个规则是我们不关心常数因子，所以我们只写它是O（n^2）。
你可以有一个及时运行的算法

2222222222+4444444444444*n+999999999999999999999*n^2个步骤

它仍然是O（n^2）

找到比O更好的算法运行时间描述是一个公开的问题。
这是家庭作业吗？我将其标记为such.nops-我们在项目中进行，在计算解决方案的算法时，我有一个论点。所以我只是想确认一下，没有必要是n的幂。任何函数都可以，例如logn，2^n，n@胡安：它不仅不需要是
n
的一种力量，而且在某些情况下它是不可能的。例如，
n的增长速度比任何多项式都快。这实际上是不正确的。在n^2时间内运行的函数在O（n^3）中。（我说是在O（n^3）中，因为O（任何非零的东西）是一个简单的集合，有无限多个函数作为成员。）。Big-O所要求的是它是一个上界（更正式地说，我的意思是一些kn^3+c是一些常数k和c的上界）。大θ要求它既是上限又是下限。同意。我想到的第一件事就是回答。时间复杂性可以是任何其他表达式。我是从手边例子的角度来解释的——无意混淆提问者。我只想强调“最小功率”大于迭代的确切次数。另外，我提到的只是针对Big-O。我会编辑这篇文章。什么能把运行时间描述为“更好”？显然，我们可以更具体一些，比如这个算法发生在
f（n）
步骤中，或者这个算法在这样或那样的硬件上以每“n”个“X”毫秒的平均时间运行，但这并不一定会使这个描述“更好”。@Tim：嗯。。。在16核Mac上使用了一个正确的16线程排序，现在任何人都可以购买，并且看到它如何优于默认的Java单线程排序，我肯定会喜欢类似“O（n log n）/nb CPU”符号之类的东西。当n接近无穷大时，不会改变任何“上界”，但对于大多数实际用途，我们可能需要一些“更好”的东西，因为我们正在进入一个越来越并行的世界，而big-O根本不会将其切割为区分单线程算法和可扩展到16核及以上的算法。